cebir

[Ana sayfaya dön]

               Matematik Felsefesi                                                    

Prof. Dr. Erhan Güzel Tarafından Hazırlanmıştır

İstanbul Kültür Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik-Bilgisayar Bölümü Öğretim Üyesi

 

“Bilim nedir?”, ”Matematik nedir?” ,”Matematik bilim midir?”, “Bilimin matematiksel temeli” konuları felsefeciler arasında, uzun bir zamandır tartışıla gelen bir konudur ve “Matematik bilim değildir” görüşü çok sayıda taraftar bulan bir görüştür.

Filozoflar ve mantıkçılar son elli yıl boyunca matematiğe bir “temel” bulma yolunda yoğun bir çaba içine girmişlerdir; yalnızca birkaç cılız ses matematiğin bir temele gereksinmesi olmadığını söyleme cesaretini gösterebilmiştir (Hilary Putman gibi).Gerçekten, matematik açıklık gerektiren bir konu mudur, temellendirilmesine ilişkin bir bunalım var mıdır? Dahası, matematiğin temeli var mıdır, ya da matematiğin bir temele ihtiyacı var mıdır?

Dikkat edilirse konu hakkında bir şeyler söylemenin sorumluluğu ve tehlikesi var, ancak yine de bu durumu açıklama çabası içinde olacağız ve konu ile ilgili düşünceleri paylaşacağız.

 

ãCopyright  kaynak belirtilmeden kullanılamaz

Kısa Sözlük Metinlerde çok sık karşılaşılan felsefenin temel kavramları

Matematik Matematiktir Matematik nedir sorusuna samimi bir yanıt

 

Matematik nasıl bir yapıdır?

Matematikte ne yapılıyor?

Matematik nasıl doğdu, gelişti?

Matematiksel düşünce olmalımıdır?

Matematik nasıl bir çalışma ister?

Matematikçiler matematiği hangi koşullarda, neden yapıyorlar?

Matematikte Bunalımlar I Matematikteki duraklamalar, yozlaşmalar, bunalımlar, görüş, yaklaşım ve fikir ayrılıkları

 

İrrasyonel Sayılar

Akhilleus ve Kaplumbağa Paradoksu

Dikotomi Paradoksu

Ok Paradoksu

Sonsuz Küçükler Hesabı

Büyük Bunalım

Matematik Felsefesi Ekolleri

 

Mantıkçılık

Platonculuk

Biçimcilik

Sezgicilik

 

Y A K I N DA

MATEMATİĞİN TEMELLERİ

MATEMATİK VE DÜNYA

MATEMATİKSEL KESİNLİK

MATEMATİKTE BUNALIMLAR II

 

KAYNAKÇA

KİTAPLAR

Barker S. F. Philosophy of Mathematics (1964),Prentice-Hall,Inc.

Barrow J., Gökteki Pi. Saymak Düşünmek ve Olmak,(2001),Çev. İ. Güpgüpoğlu,İ. Karman,Beyaz Yayınları, İstanbul

G.H. Hardy, Bir matematikçinin savunması

Georges Ifrah , Rakamların evrensel tarihi I,II,II,IV

Gregory J Chaitin,Matematiğin Temelleri Üzerine Uyuşmazlık Yüzyılı

Gür S. B. Matematik Felsefesi (2004),Kadim Yayınları,Ankara

Nesin A., Matematik ve korku

Shapiro S.,Thinking about Mathematics:Philosophy of Mathematics (2000),New York: Oxford Un. Press

Stephen W. Hawking, Zamanın kısa tarihi

Tepedelenlioğlu N, Kim korkar matematikten

Yıldırım C.,Matematiksel Düşünme (2000),3. Basım.Remzi Kitabevi

Yıldırım C., Bilimin Öncüleri

LİNKLER

felsefeekibi.com

wikipedia.org

genbilim.com 

matematikdünyasi.org

tubitak.gov.tr

edebiyatsozluk.com

felsefe.gen.tr

 

 

 

 

 

 

Kısa Sözlük

 

A PRİORİ: Deneye gerek duymadan doğruluğunu kabul ettiğimiz her şeye verilen genel ad

AKSİYOM: Kanıtlanamayan ama kanıtlanmasına gerek duyulmayacak derecede doğru olan ve tüm alanlar için doğru olan önerme

AMPİRİK: Deneye dayalı

ANTAGONISM: Gelirlerin paylaşılmasında işverenle işçinin rakip durumda olduklarını iddia eden teoridir

DIYALEKTIK MATERYALISM: “Evrende maddeden başka bir şey yoktur, madde karşıtlıklar içinde gelişir" görüşü.

EPİSTEMOLOJİ: Bilgi felsefesi

HEDONIZM: Hazcılık
İDEA: Duyularla değil yalnızca ruhen algılanabilen asıl gerçeklik, düşünce, fikir
NIHILIZM: Hiççilik, dünyada hiçbir şeyin anlamı ve önemi olmadığını savunan düşünce
OLGU: Doğruluğu ya da yanlışlığı bilimsel verilerle kanıtlanabilir bilgi

ONTOLOJI: Varlık bilimi
POSTMODERNISM: Modernin ötesine geçen, moderni aşan, onu eleştiren metin, yapı, kişi, ürün vb. yetmezler.

POSTULAT: Ön kabul, belli şartlarda olduğu kabul edilen ve bir alana, örneğin geometriye has doğrulara verilen ad

PRAGMATİZM: Bir düşüncenin doruluğunun ya da geçerliliğinin o düşüncenin pratik sonucu ile ölçülebileceğini benimseyen ve savunan felsefi görüştür.

RASYONALISM: Akılcılık. Bilginin deneyimden bağımsız olarak, aklın kendisinden geldiğini savunan akım
REALISM: Gerçekçilik
SENTETİK: Doğal olmayan

SEPTISIZM: Kuşkuculuk
TİKEL: Bir sınıfın tamamını kapsamayan sadece bir kısmını kapsayan kavrama verilen genel ad TOTOLOJİ: Her zaman doğru olan ifade
UZAM: Mekânın tinselleştirilmiş hali




















 

Matematik Matematiktir  

 

Matematikle ilgilenen yada ilgilenmeyen hemen herkesin

 

Matematik nedir?

Neden matematik?

Teknolojik gelişme için matematik gerekli midir?

 

sorularına bir cevabı vardır.

 

Acaba, çoğu kimsenin düşündüğü gibi matematik, birtakım formüler, simgeler yığını ya da, sayılar ve geometrik şekillerle oynamak mıdır?

 

Böyle düşünmek, bir ormanı ağaçlar ve hayvanlar yığını olarak düşünmek gibidir.

 

Matematik nasıl bir yapıdır?

 

Önce Aksiyom var.

Aksiyom "kanıtlanamayan ama kanıtlanmasına gerek duyulmayacak derecede doğru olan tümce" dir. Örneğin,

 

"Her sayı kendine eşittir"

"iki noktadan bir doğru geçer"

 

Buna göre, matematik , "aksiyomlar ve aksiyomlarla  donatılmış sembollerden oluşan küme" biçiminde tanımlanabilir.

 

Matematikte ne yapılıyor?

Matematikte, aksiyomlardan hareket edilerek teoremler ispatlanır.Buna göre,matematiği başka bir biçimde aşağıdaki gibi tanımlayabiliriz:

 

"Matematik, nesnel geçeklikten (yani,aksiyomlar yada aksiyomlar yardımıyla ispatlanmış teoremlerden) hareketle gene nesnel gerçekliği anlamak,onu biçimlendirmek için soyutlanan kavramlar ve bu kavramlar arasındaki ilişkilerdir."

 

Bu tanım günlük hayatta yaşadığımız, resim ya da müzik yapmak, tartışmaya girmek gibi pek çok olay için geçerlidir. Bu nedenle, matematik, sanatta, edebiyatta, hukukta yani,yaşamın her alanında kullanılan yöntemlerin bir sistematiğidir.Sistematiğidir diyoruz çünkü,günlük hayatta "kuraldışı" olmasına karşın,matematikte "kuraldışı" yoktur.Matematikte kuraldışı olmadığı için,doğrulardan hareket edilerek doğrular bulunur.

 

Hemen akla şu soru gelir: Doğrulardan hareket edilerek her iddia ispat edilebilir mi? Bu mümkün değildir. Çünkü ispat edilemeyen pek çok iddianın varlığını biliyoruz. Acaba yanlışlardan hareket edilerek her iddia ispat edilebilir mi? Bunun için, bilinen hikâyeyi hemen anlatalım:

 

Bertrand Russel'a takılmak için sorarlar : "1=2 kabul edersek, sen Papa olduğunu ispat edebilir misin?" Cevap,

-   Beni Papa ile aynı odaya kapatın. Odada kaç kişi var?

-   2 kişi

-   Ama 1=2  dir.O halde,ben Papayım.

 

Matematik nasıl doğdu, gelişti?

İlk matematikçi belki de,sürüsündeki hayvanları saymaya çalışan bir çobandı.Büyük bir olasılıkla da ilk bulunan sayı "çok" dur.Sonra 2,daha sonrada 1 bulunmuş olabilir.Ama en zor bulunan 0 (sıfır) dır. 0 sayısı M.S. 7-inci yüzyılda Hindistan da (sıfır ile Budizm de Nirvana'ya ulaşmak arasındaki ilişkiyi incelemek ilginç olabilir.) kullanılmaya başlanmıştır Bu belki de, insanlığın en büyük buluşudur. Sayma sisteminin ne kadar uzun sürede geliştiği, ilkel toplumlarda nasıl doğduğu, yakın zamanlarda ortaya çıkarılan birtakım ilkel kavimlerde gözlenebilmiştir:

 

Avustralya da bir kavim 1,2,3,çok diye dört sayı biliyor fakat, bütün çocuklarını sayabiliyormuş; ilk doğan erkek çocuğun her ailede adı aynıymış,2-inci , 3-üncü   için de böyle ve kız çocukları için de aynı şeyi yapıyorlarmış.Böylece,bir çocuğun kaçıncı erkek yada kaçıncı kız çocuğu olduğunu bilebiliyorlarmış.Ama,koyunlarını sayamıyorlarmış.

 

Bir başka kavimde, en çok koyunu olan kişi, kavmin reisi olarak seçiliyormuş. Seçimde iki aday varsa, yan yana iki ağıldan koyunlar birer birer çıkarılıyor ve ilk tükenen seçimi kaybediyormuş.

 

Başka bir kavimde ise, tek ve çift kavramları varmış. Çoban koyunları her sabah ikişerli gruplar halinde ağıldan çıkarıyor ve akşam ikişerli gruplar halinde ağıla alıyormuş. Bu işlem sonucunda,tek koyun kalıyorsa,çoban tek sayıda koyunu olduğunu ve eğer tek koyun kalmıyorsa,çift sayıda koyunu olduğunu anlıyormuş.

 

Oldukça erken çağlarda, insanlar aynı cins nesneleri karşılaştırarak, büyüklüklerini ölçerek ve arlarında oranlar kurarak matematiğe başlamışlardır. Kemik üzerine, kum üzerine çizerek ya da, ipe düğüm atarak bir büyüklüğü belirtmeye çalışmışlardır;

 

Sümer çobanları her hayvanı kilden bir  koni ile gösterip, bu konileri kıldan bir torba yada,kilden bir küp içinde biriktirerek ölüm ,doğum,alım,satım hesaplarını tutmuşlar.

 

Mezopotamya da kent yerleşiminin karmaşık ekonomilerini düzenlemek için, küp içine koni koymak yerine, küp üzerine benzer şekiller çizilmiş. Böylece, M.Ö. 3000  e doğru ilk yazılı sayılama ile karşılaşmış oluyoruz.

 

Tarımla uğraşan en ilkel kabileler bile, mevsimlerle ilgili bilgileri edinmek zorundaydılar. Örneğin, eski Mısır da Nil taşkınlarının ne zaman olacağını bilmek çok önemliydi. Taşkından sonra kaybolan toprak sınırlarını yeniden hesaplamak gerekiyordu. Böylece,geometri ve astronomi gelişti.

 

Fenikeliler gibi tüccar-denizci toplumların ekonomileri bir muhasebe sistemi gerektirmiştir. Miras bölüşümü ve denizcilik zanaatı için aritmetiğin, geometri ve astronominin bilinmesine gereksinim vardı.

 

Böylece, toplumsal yaşamın gerektirdiği matematiksel gelişme belirli bir düzeye erişti.Daha sonra,matematik sadece uzmanların anlayabildiği bir meta haline geldi;İnsanlar olgularla yetinmeyip ispata yöneldiler.Bu durum,en belirgin bir biçimde eski Yunanistan da ortaya çıktı.İspat etmenin ön plana çıkması ile matematik günümüzdeki gelişmişlik düzeyine ulaştı.

 

Eski Mısır da Pitagor (Pisagor) teoremi biliniyordu. Ancak ispatı önemliydi ve yazılı bir kaynak olmamasına rağmen ,ilk olarak eski Yunanistan da ispat edildiği tahmin ediliyor.

 

Hindistan da tüccar bir toplum vardı ve teoriden çok pratiğe önem veriliyordu. Ancak, ticarette borç problemlerinin çözümü için negatif sayılara gereksinim vardı. Böylece, bildiğimiz sayı sistemi gelişti. Dolayısıyla, Analiz ve Cebir gelişti. Bu kavramlar, daha sonra Araplar aracılığıyla Avrupa ya geçti.

 

Oldukça erken çağlarda başlayan ve Babil, Asur, Mısır, Yunan uygarlıklarında genel toplumsal yaşamın gerektirdiği ölçüde gelişen matematik Avrupa ya oldukça geç ulaşabildi. Ancak belirli bir gelişmişlik düzeyinde Avrupa ya ulaşan matematik,15-inci yüzyıla kadar sadece az sayıda din adamı yada filozofun elinde birer eğlence ya da  güç gösterisi olmaktan öteye gidemedi.15-inci yüzyılda tam sayılarla toplama ve çıkarma, Avrupa nın ancak birkaç üniversitesinde öğretilebiliyordu. Çarpmayı öğrenmek için İtalya nın önemli birkaç üniversitesinden birine gitmek gerekiyordu. Geometri olarak, Öklid geometrisinin basit konuları, sadece büyük filozofların tartışma konusuydu. Bölme işlemi ise,16-ıncı yüzyılın getirdiği bir yenilikti.

 

Matematikte bilim kavramı ancak 17-inci yüzyılda kullanılmaya başladı. 20-inci yüzyılın başlarında Analiz, Cebir ve Geometri belirli bir düzeye erişebildi; Kümeler Teorisi kuruldu. Bu aşamada ortaya çıkan büyük tartışmalara rağmen, matematik büyük bir gelişme hızı kazandı ve devam ediyor.

 

Matematiksel düşünce olmalımıdır?

 

Büyük matematikçimiz Cahit Arf "Bilim, doğayı algılama çabasıdır" demiştir. Bütün çabaya karşın, doğada çok bilinmeyen şey var. Bilmediği şey insanı çeker. Bilmediğiniz yeni bir konuya başlarken "bu güne kadar öğrendiklerim kolaydı asıl zorluk işte şimdi başlıyor"  dersiniz. Ancak,konu bittiğinde,doyumsuzluk bitmez ve  başka zorluklar sizi çeker.Aslında,insanın aradığı zorluk şudur:

Hem zorluğu yeneyim hem de zorluk yine olsun.

Matematik gibi soyut bilimlerde bu hep vardır ve bu yüzden, düşünen insan soyut bilime yönelir. Ama soyutta "kural dışı" yoktur, sadece mantık vardır. Bu nedenle de yenilemeyecek hiçbir zorluk yoktur. Toplumlar arasında büyük bir gelişmişlik ve teknoloji üretme yarışı var. Sadece teknoloji tüketerek üstünlük sağlanamaz. Üretmek, olgularla yetinmeyip ispat etmek gerekir. Bizim Nasrettin hoca pek tatlıdır; ceviz başına düşer, balkabağı tarlasına bakıp "şükürler olsun" der. Newton için anlatılan benzer fıkra ise, aynı biçimde bitmez; Newton "elmalar düşer" diye bir olguyu değil yerçekimi yasasını ortaya atmıştır. Elmayla yerçekimi yasası arasındaki süreç matematiktir. Yerçekimi yasası biliniyorsa, nasıl yenileceği bilinir ve uzay çağı yakalanır.Yani,işin aslı matematiksel düşüncedir.

 

Matematik nasıl bir çalışma ister?

 

Soyut bir bilim olan matematik için matematikten başka, bilinmesi gereken şey yoktur. Ama, örneğin, tarih için sosyoloji, ekonomi, felsefe ve daha pek çok şey bilmek gerekir. Yani,

matematik matematiktir.

Bu nedenle, normal bir zekâya sahip herkes matematiği baştan sona anlayabilir. Matematik için normal bir zekâ ya gereksinim olmasına karşın, toplumda matematik zor olarak tanınır. Çünkü matematik bir zekâ oyunu değil bir süreçtir. Önemli olan, kabul edilen ilk aksiyomdan başlayarak çözülmek istenen probleme kadar olan mantık zincirini koparmamaktır. Bu ise, kişiye göre değişen zaman ve çalışma gerektirir."Zekiyim ama matematiği anlamıyorum" demek, gerektiği kadar çalışmamanın, tembelliğin itirafıdır. İyi bir matematikçi olmak, yaratıcılık ve hayal kurma gücü ister. Kendini beğenmiş, ismi unutulmuş bir yazar ünlü Fransız matematikçi Cauchy 'i kızdırmak için konuşur:

- Öğrenciniz ozan olmuş!

- Biliyorum, zaten matematik için yeterli hayal gücü yoktu.

 

Matematikçiler matematiği hangi koşullarda, neden yapıyorlar?

 

Matematik soyut bir bilim dalı olduğundan, toplum matematiği dolaylı olarak kullanır. Bu yüzden, matematikçinin yaşadığı süre içinde yaptıklarının pratiğe dönüştüğünü, kullanıldığını görme olanağını bulması çok zordur ve bir matematikçi hiçbir zaman çok zengin olamaz. Belirli bir çevre dışında üne kavuşamaz. Matematikçi için Nobel ödülü de yoktur (acaba neden?) .Yüzyılın teoreminin ispatlanmasına karşın bunu çok sınırlı bir cevre bilir. Peki, neden hala matematik yapılıyor? Sevgiden, tutkudan ya da bilinmeyene olan meraktan denebilir. Ancak, bunun cevabı insanları araştırmaya yönelten nedenlerde yatmaktadır. İnsanlar entelektüel merak, profesyonel saygınlık ve başarı için araştırma yaparlar. Bütün bunları elde etmekte matematikçiler çok daha şanslıdır. Başka hiçbir alanda gerçekler aynı ölçüde şaşırtıcı oyunlar oynamaz. Matematikte çok incelikli ve büyüleyici teknikler vardır. Daha da  önemlisi,matematiksel sonuçlar başka bilim dallarına göre en kalıcı olanlarıdır. Örneğin, fizikte kütlelerin devinimine ilişkin Aristo'nun (M.Ö. 384-322) düşünceleri ile Galileo (1564-1642) ve Newton’nun (1642-1725) düşünceleri tamamen farklıdır, Einstein’ın (1879-1955) görelik kuramı ise, Newton'un devinim yasaları için de geçerli olmasına karşın kapsamı genişlemiştir. Buna karşı, matematikte "asal sayılar sonsuzdur" teoremi doğrudur, ispatı heyecan vericidir ve bu teorem Öklit (M.Ö. 300) tarafından ispat edilmiştir. Kişisel tatmin de önemlidir. Çünkü bir satranç problemini çözmek ilginçtir ama sonuçta bu bir matematik problemidir. Ancak, bir teoremi ispatlamak oyunun ta kendisidir.

 

Faydalanılan Eserler :    Ali Nesin, matematik ve korku

                                       Nazif Tepedelenlioğlu, kim korkar matematikten

                                       G.H. Hardy, bir matematikçinin savunması

                                       Georges Ifrah , rakamların evrensel tarihi I,II,II,IV

                                       Stephen W. Hawking, zamanın kısa tarihi

 

 

Matematikte Bunalımlar 

 

Matematiğin gelişimini doğru bir çizgi üzerinde devam ettiren, problemlerini er ya da geç çözüme kavuşturan istikrarlı bir bilim gözüyle bakılmıştır.Halbuki, matematik tarihine baktığımızda durumun hiç de böyle omadığını, bilimin diğer alanlarında olduğu gibi matematikte de duraklamalar, yozlaşmalar, bunalımlar, görüş, yaklaşım ve fikir ayrılıklarının olduğunu görürüz.

       Bilimde olduğu gibi matematikte de kesinlik arayışı dogmatizme, dogmatizm de beklenmedik değişiklik ve ve gelişmeler karşısında bunalıma yol açmıştır. Buna karşın her bunalımı, tüm olumsuz görünümüne rağmen, yeni bir atılım ya da açılmaya giden yolda başlangıç koşulu olarak niteleyebiliriz. Bu bunalımlar kısa ya da uzun sürsün, geçici bir bocalama olmaktan ileri gitmemiştir.

Tarih boyunca matematiğin geçirdiği bunalımları aşağıdaki gibi dört ana bşlık altında toplayabilmemiz mümkündür.

1-İRRASYONEL SAYILAR

       Matematikte ilk bunalım antik Yunan döneminde (M.Ö.5.yüzyıl) iki tamsayının bölümü olarak belirlenemeyen doğru parçalarının varlığının tespit edilmesiyle başlar. Buna örnek olarak, kenarı bir birim olan karenin köşegenini verebiliriz. Pythagorasçılara göre, karenin kenarı ve köşegeni gibi aynı türden geometrik büyüklüklerin ortak ölçüsüz olması açıklamaza bir skaldaldı ve bu yüzden gizli tutulmasına karar verildi.

       Bu olayın yanı sıra Elea’lı Zeno (M.Ö. 490 doğumlu)’nun adıyla anılan paradoksların ortaya çıkmasıyla matematikteki bunalım yoğunluk kazandı. Bu paradokslar aşağıdaki gibi değişik şekillerde ifade edilir:

è  Akhilleus ve Kaplumbağa

Yunan kahramanı Akhilleus’un kaplumbağa ile bir yarış yaptığını düşünelim. Çok iyi bir koşucu olduğu için Akhilleus kaplumbağa’nın belirli bir mesafe, örneğin yüz metre, ileriden başlamasına izin verir. Eğer her ikisinin de sabit hızlarda koştuğunu düşünürsek (biri sabit yüksek bir hızda, diğer sabit düşük bir hızda), belirli bir süre sonra Akhilleus yüz metre koştuğunda, kaplumbağanın başladığı yere gelmiş olacaktır; bu süre boyunca kaplumbağa da küçük de olsa belirli bir mesafe ‘koşmuştur’, örneğin 1 metre. Akhilleus bir süre sonra bu mesafeyi de tamamladığında, o süre içerisinde  kaplumbağa yine küçük de olsa bir mesafe ilerlemiş olacaktır ve bu böyle devam edecektir. Böylece, Akhilleus ne zaman kaplumbağanın varmış olduğu bir noktaya varsa, daha hâlâ gitmesi gereken bir mesafe kalmış olacaktır. Bu nedenle Zeno Akhilleus’un kaplumbağayı hiçbir zaman geçemeyeceğini söylemiştir.

è  Dikotomi Paradoksu

       A kişisinin d noktasına gitmesi gerektiğini hayal edelim. Fakat d'ye gitmeden, önce d'ye olan mesafenin yarısını gitmek zorundadır. Fakat d'ye olan mesafenin yarısını gitmeden önce bu mesafenin çeyreğini gitmesi gerektir. Daha sonra çeyreği gidebilmek için sekizde birini gitmesi gerekmektedir; bu böyle devam eder.

Sonuç olarak A kişisinin sonsuz sayıda mesafe gitmesi gerekir. Bu seride bir sorun daha vardır; her ilk mesafe aralığı ikiye bölünebileceği için gidilmesi gereken belirli bir ilk mesafe yoktur. Böylece bu yolculuğun bir başlangıç noktası yoktur, yani yolculuğa başlayamaz. Bu paradoks sonuç olarak belirli bir mesafenin yolculuğunun tamamlanamaycağını veya başlanamayacağını, böylece de her hareketin sadece bir ilüzyondan ibaret olacağını ifade eder.

è  Ok Paradoksu

Yaydan çıkmış, ilerleyen bir ok hayal edelim. Zaman içindeki her anda, ok belirli bir konumdadır. Eğer an belirli, tek bir nokta ise o anda okun hareket etmeye zamanı yoktur ve durağandır. Bu nedenle gelecek anların hepsinde de durağan yani hareket etmeyen şekilde olması gerektir. Böylece ok her zaman durağandır ve hareket etmez; hareket imkânsızdır.bu yüzden aslında hareket de bir illüzyondur.

 

       Bu paradoksların ortak özelliği şöyle bir varsayıma dayanmaktadır:Sonlu bir sürede sonsuza giden devinime olanak yoktur. Bu varsayıma gore, belli bir mesafe geriden yürümeye başlayan bir tavşanın önündeki kaplumabağayı hiçbir zaman yakalayamaması gerekir. Çünkü tavşanın aradaki mesafenin once 1/2 sini, ondan da once 1/4 ünü, ondan da once 1/8 zini, …ve böyle sonsuz adek bölünebilen aralıkları koşması gerekir ki, bunu sonlu bir sure de gerçekleştirmesi olanaksızdır.

       Zeno’nun paradoksunun yakından bakıldığında bir çıkarım hatsından oluştuğu farkedilmektedir. Şöyleki; tavşanla kaplumbağa arsındaki mesafenin sonsuz bölünelbilir olması bu mesafenin sonsuz olduğu demek değildir.Başka bir ifadeyle, bir büyüklüğün sonsuz sayıdaki bölümlerinin toplamı o büyüklüğü sonsuz yapmaz.

       Matematiğin bu ilk bunalımdan çıkması kolay olmamıştır. M.Ö. 4. Yüzyılın seçkin matematikçisi Eudoxus’un büyüklük ve orantı kuramı üzerindeki çalışması, bu sorunu bir ölçüde açıklığa kavuşturmuştur. İlk bunalımdan kurtulmak için yapılan çalışmalar ilginin sayısal kuramlardan geometriye kaymasına ve geometrinin aksiyomatik bir system olarak oluşmasına sebep olmuştur.

2-SONSUZ KÜÇÜKLER HESABI

       Modern matematik başladığında, matematik geleneğine iki düşünce hakimdi. Bunlardan biri, antik Yunan matematiğinden kaynaklanan ispata dayalı geometri, diğeri Hint ve İslam matematiğinde ön plana çıkan sayı kavramı ve ona dayalı cebir. Bugün bildiğimiz matematiği büyük ölçüde XVII. yüzyılda gerçekleşen iki önemli buluşun yol açtığı gelişmelere borçluyuz. Bunlardan ilki Descartes (1596-1650)’in o zamana dek birbirinden tümüyle ayrı görünen matematiğin iki dalını, geometri ile cebiri, birleştirme çabasının bir ürünüdür. Şimdi analitik geometri olarak bilinen bu çalışmada, koordinatlar aracılığıyla eğrileri denklemlerle, dolayısıyla eğrilerin geometrik özelliklerini cebirsel formüllerle belirleme olanağı doğmuştur. Üstelik denklemleri de grafikle dile getirmeye olanak sağlamakla analitik geometri, cebirin analize dönüşmesine, bu arada değişken, fonksiyon ve fonksiyonel bağımlılık gibi kavramların belirginleşmesine, bu kavramların geometrik terimlerle ifade edilmesine yol açmıştır.
İkinci büyük gelişme, daha sonra analiz denen çalışmaya yol açan, Newton ile Leibniz’in birbirinden bağımsız olarak oluşturdukları sonsuz küçükler hesabıdır.

       XVII. yüzyılda ilerlemeler hızla devam eder. Fakat antik dönemde kullanılan sıkı ispat yöntemleri bu dönemde önemini yitirmiştir. Matematik, mantıktan çok sezgi,imge ve deneyime bağlı bir çalışma görüntüsüne bürünür. Yeni buluş ve yöntemlerin doğru dürüst incelenmeden,cosşkunlukla uygulamaya konması çabaları XVIII. Yüzyılın sonlarına kadar surer. Bu sırada yavaş yavaş bu üstünkörü uygulama farkedilmeye ve eleştirel bir yaklaşım gelişmeye başlamıştır.

       XVII. yüzyıl matematikçileri, ulaştıkları parlak başarıların etkisinde, eleştirel tutumdan uzak kalmış, her şeyin yolunda olduğu gibi bir iyimserlik havasına girmişlerdi. Bu yüzden olmalı ki, ne analitik geometri, ne de sonsuz küçükler hesabı sağlam bir temele oturtulmadan kalmıştı.

       Diferansiyel hesapların anlam ve dayanaklarına ilişkin kuşku ve tedirginlikler ortaya çıkar. İlk eleştriler Berkley, ardından Hegel gibi idealist filozoflardan gelir. Özellikle diferansiyel kesirlerle sonsuz küçükleri içeren işlemler kuşkuyla karşılanır. Aslında, bu işlemleri oluşturan Leibniz ve Newton’un bile temeldeki kavramlar üzerinde tam bir açıklık içinde  oldukları kolayca söylenemez. Leibniz, metafizik öğretisi gereği sonsuz küçükleri varsayıyordu. Newton, fizik ve astronomi çalışmalarında duyumsadığı gereksinmeyle diferansiyel işlemleri oluşturmuştu.

       Daha XVIII. Yüzyılın ilk yarısında belirsiz kalmış birtakım noktalar yanında kimi çelişkilerin de giderek su yüzüne çıkması ciddi tereddütlere yol açar. Berkley 1737 da The Analyst adlı yapıtında kalkülüs’ü, kavramsal dayanaklarını irdeleyerek oldukça ayrıntılı bir eleştiriden geçirir. Daha sonra Legendre ve Lagrange gibi kimi seçkin matematikçilerin de durumdan yakındıklarını biliyoruz. Lagrange (1736-1813), çelişkiler içermesine karşın matematiğin başarısını Tanrı’nın iyilikseverliği altında hataların birbirini götürmesine bağlıyordu. Denebilir ki matematik o sırada bir bilim olmaktan çok bir sanat görünümündeydi. Nitekim, kimi eleştiriciler daha da ileri gidip bu matematiği düpedüz uydurma ya da kurgusal beceri olarak nitelerler. Bunların başında 19. Yüzyılda yaşayan Lubsen ve Vaihinger gibi matematikçiler gelmektedir.

       XIX. yüzyılda Gauss (1777-1855) ile Cauchy (1789-1857) gibi matematikçiler bir yandan eleştirel tutum izlerken, öbür yandan yeni buluşlara yönelik atılımlar sergilemişlerdir. Gauss çalışmasının önemli bir bölümünü matematiği sağlam bir temele oturtma amacına yöneltmişti. Onun cebirin temel teoremi olarak bilinen karmaşık sayılar alanında her cebirsel denklemin bir kökü olduğu savını ispat uğraşı bu amaca yönelik önemli bir çalışmadır. O güne değin belisiz kalan karmaşık sayılar kavramı bile Gauss’un çalışmasında açıklık kazanır.

       Analizi gerçel sayılar alanından karmaşık sayılar alanına genişletme işini ise büyük ölçüde Cauchy’ye borçluyuz. Karmaşık bir değişkene ait karmaşık fonksiyonlar teorisini oluşturan Cauchy, sonsuz küçükler gibi ne olduğu açık olmayan kavramları matematikten ayıklama çabasıyla analizde gerçek bir reforma yönelir. (Sonsuz küçükler giderek kaybolma yolunda -yani sıfıra yaklaşan- nesnel miktarlar olarak varsayılıyor, diferansiyel katsayı ve integrallerin bunlardan oluştuğu sanılıyordu. Oysa, bu kavram tam bir belirsizlik içindeydi.) Limit süreklilik gibi kavramlar ilk kez onun elinde açık ve belirgin anlamlarını kazanmıştır. Cauchy’nin limitler teorisi daha sonra Weierstrass’ın çalışmasıyla birleşerek sonsuz küçükler kavramını gereksiz kılar. Bu gelişmeyle ortaya çıkan sonsuz sayılar ile süreklilik sorunlarını ise George Cantor ele alır. Cantor sonsuz bir dizi ya da kümeyi, kardinal sayısı herhangi bir alt-bölümünün kardinal sayısına denk olan küme diye tanımlar. Başka bir deyişle sonsuz bir kümedeki elemanlar ile, o kümenin bir alt-bölümüne ait elemanlar bire-bir eşleştirilebilir. Örneğin, sonsuz bir küme oluşturan doğal sayıları bir küme üzerine, doğal sayılar kümesinin bir alt bölümü olan çift sayıları ikinci satır üzerine yazalım:

             1,    2,    3,    4,     5,      6,    …

             2,    4,    6,    8,    10,    12,    …

Görülüyor ki ilk satır üzerindeki sayılar ne denli çoğalırsa çoğalsın, ikinci satır üzerindeki sayılar da o denli çoğaltılabilir. Öyle ki, ilk satırdaki her elemana karşılık ikinci satırda da daima bir eleman vardır. Bu iki dizinin eşdeğer olduğunu verir. Oysa ikinci dizi birincisinin bir alt bölümünden başka bir şey değildir.

       Cantor, geliştirdiği sonsuz sayılar teorisinde farklı büyüklükte sonsuz dizi ya da kümelerin olduğunu gösterir. Örneğin, gerçel sayılar kümesi , doğal sayılar kümesinden daha büyük bir kümedir. Tüm ondalık kesirlerin büyüklük sırasına göre dizildiğini düşünelim. Dizideki ilk kesrin birinci rakamı ile ikinci kesrin ikinci rakamını alıp her rakama bir ekleyerek yeni bir ondalık sayı oluşturalım ve bu işlemi dizi boyunca sürdürelim. Bu şekilde oluşturulan ondalık, tam sandığımız tüm ondalıklardan farklıdır. Bu, gerçel sayılar söz konusu olduğunda sayılabilir bir dizi oluşturmanın olanaksızığını göstermektedir. Ondalık kesirler sayısının, doğal sayılar sayısından daha yüksek derecede sonsuz olduğu demektir bu.

       Analiz bugün bilinen kimliğine büyük ölçüde XIX. yüzyılın ikinci yarısında Karl Weierstrass(1815-1897)’ın çalışmasıyla ulaşır. Cauchy’nin, bulanık sonsuz küçükler kavramı yerine daha açık ve net limitler kavramını getirmesiyle başlayan, Weierstrass’ın analizi aritmetikleştirmesiyle, Cantor’un süreklilik ve sonsuz sayılar kavramına açıklık getirmesiyle noktalanan çalışmalar geçen yüzyılda yaşanan bunalımı önemli ölçüde gidermiştir.

3-EUCLIDES-DIŞI GEOMETRİLER

       İki bin yılı aşkın bir süre boyunca “biricik geometri” kimliğini koruyan Euclides geometrisinden farklı geometrilerin ortaya çıkışı kolayca sindirilebilir bir gelişme olamazdı. Kant’a göre geometrinin konusu uzay, temel özelliklerini aklımızın yapısına borçluydu; geometri önermeler bu nedenle zorunlu a priori doğrulardı. Başka bir deyişle, bir tek geometriye olanak vardı, o da Euclides geometrisiydi.
Biri analizde, diğeri geometride ortaya çıkan bu iki tedirginlik, XIX. yüzyılı bir bunalım dönemine dönüştürmüştü. İlk kez bu dönemde birtakım belirsizlik, çelişki ve üstünkörülüklerle yüklü olduğu gözlenen matematiğin, aynı zamanda temelde bir bütün oluşturduğu bilinci uyanmıştır. Bunalımı aşma çaba ve arayışlarının hemen hepsinde bu ortak bilincin etkisini bulmaktayız.

       Matematiğin pekiştirilmesine yönelik bu çabada “mantıksal” diyebileceğimiz bir yaklaşımdan da söz edebiliriz. Richard Dedekind (1831-1916)’in çalışmasında kendini gösteren bu yaklaşım, Peano, Frege ve Russell gibi mantıkçı-matematikçilerde daha belirgin bir karakter kazanır.

       Daha çok gerçel sayılara ilişkin teorik çalışmalarıyla tanınan Dedekind, diferansiyel ve integral hesapları aritmetik bir temele oturtmaya yönelir. Mantıksal çözümlemeyi içeren bu temellendirme, Peano ile önemli bir dönüm noktasına ulaşır. Peano da Dedekind gibi, kavram ve yöntemlerde üstünkörülükten kurtulma, daha kesin ve belirgin olma çabasındaydı. Matematikte sağduyu ile sezgiye gereğinden fazla yer verilmesi tutumuna karşıydı. Soyut matematik, sağduyu ve sezgiye dayanan gelişigüzel bir çalışma olamazdı; tersine, kendi içinde yeterli, formel ya da mantıksal bir sistem olmalıydı.
       Frege, matematiğin mantıksal temellerini derinlemesine irdelemiş, aritmetiğe, geometrinin eriştiği düzeyin de ötesinde bir ispat bilimi kimliği kazandırmaya çalışmıştır. Matematik bir yandan daha sıkı bir mantıksal nitelik kazanırken öte yandan ona sağlam bir temel bulma çabaları yer almaya başlar. Yüzyılımızın başlarında büyük yoğunluk kazanan bu çabalar, önceki yüzyıllarda ulaşılan sonuçları daha belirgin, tutarlı ve kesin kılmanın yanısıra, matematiksel düşünme yöntemine de bir açıklık getirir. Artık matematiğe bir yığın formül, teknik bilgi ve teorem ispatı içeren soyut bir çalışma olmanın ötesinde bir düşünme yöntemi gözüyle bakılmaya başlanır.

4-Bulamımın En Büyüğü

       Yüzyılımızın başında patlak veren bu bunalım Cantor’un genel kümeler kuramına ilişkin paradokslardan kaynaklanır. Kümeler kutramında ortaya çıkan paradoksların tüm matematiği sarsması bir bakıma kaçınılmazdı; çünkü matematiğin büyük ölçüde küme kavramına dayanığı ya da bu kavrama indirgenebildiği düşünülüyordu. Cantor oluşturduğu kümeler kuramında herhangi bir sonsuz sayıdan daima daha büyük sonsuz bir sayının olduğunu ispatlamıştı.

       Bertrand Russell (1872-1970)’ın 1901’de bulduğu paradoks doğrudan küme kavramından kaynaklanan bir paradokstu. Russell kümeleri kendi kendisine üye olup olmamasına göre ikiye ayırarak, paradoksunu oluşturur. Bir yanda tüm kümelerin kümesi, tüm soyut kavramları içine alan küme gibi kendi kendisinin kümesi olan kümeler vardır. Diğer yanda, çocuklar kümesi, ülkeler kümesi, yıldızlar kümesi gibi kendi kendisinin kümesi olmayan kümeler vardır. Gerçekten tüm çocukları kapsayan küme, bir çocuk değildir; gene tüm ülkeleri içine alan küme bir ülke değildir. Oysa, tüm kümelerin kümesi bir kümedir; tüm soyut kavramları içeren küme de soyut bir kavramdır.Bu bilgi eşliğinde kendi kendinin elemanı olmayan bütün kümeleri düşünelim.Ve sonra şu soruyu soralım: “Bu küme kendisinin bir elemanı mıdır yoksa değil midir?” Eğer kendisinin bir elemanı ise kendisinin elemanı olmamalıdır.  Bu paradoksun popular örneğini Russell kendisi vermiştir.Uzak ve sapa bir köyün berberi, kendini tıraş etmeyen köylüleri ve yalnız onları tıraş edermiş.Bu berberi kim tıraş edecek? Yanıt ne olursa olsun, sonuç çelişkiye yol açar. Berber kendini tıraş ederse tıraş etmeyecek, etmezse tıraş edecektir.

       Russell paradoksu, kümeler teorisinde matematik için sağlam bir temel bulunduğu düşüncesine beklenmeyen bir darbe indirir. Bugün bile doyurucu bir çözüme kavuştuğu söylenemeyen bu ve daha sonra ortaya çıkan benzeri paradoksların, değişik biçimlerde antik dönemlerde de ortaya atıldığını biliyoruz. Bunlardan yalancı paradoksu olarak bilineni en ünlüsüdür. Kendisi de Giritli olan Epimenides (M.Ö.6.yy),

                        Tüm Giritliler yalancıdır

demiş. İlk bakışta çelişki gibi görünen, yüzyıllar boyunca öyle sayılan bu önerme aslında tam bir paradoks içermemektedir. Gerçi önerme doğruysa, yani Giritlilerin hepsi gerçekten yalancıysa, Giritli olan Epimenides’in savı doğru olamaz; öyleyse söylediği yanlıştır; yani Giritlilerin hepsi yalancı değildir. Ama bu tüm Giritlilerin, bu arada Epimenides’in doğru söylediği demek değildir. Oysa çelişki içeren bir önerme ya da sav doğru sayıldığında yanlış, yanlış sayıldığında doğru çıkmalıdır. Nitekim bu nitelikte bir paradoksu, Epimenides’ten iki yüzyıl sonra gelen Eubulides’in şu önermesi sergilemektedir:
                      Bu söylediğim yanlıştır.

 Gerçekten bu önermeyi doğru ise yanlış, yanlış ise doğru saymak gerekir. Epimenides de “Ben şimdi yalan söylüyorum” deseydi, söylediği tam bir paradoks oluştururdu. Paradokslardan kurtulma yolunda ortaya atılan çözüm önerileri içinde önemli sayılan iki tanesine değinelim. Bunlardan ilki; kümeler kuramını hiçbir kuşku ya da eleştiriye yer vermeyecek şekilde, iyice sınırlandırılmış aksiyomatik bir sistem kurmaktı. Bu yönde ilk girişim 1908’de Zermelo’dan gelir.Onu Fraenkel, Skolem, von Neumann ve Beryanes gibi araştırmacılar izler. Ne var ki, aksiyomatikleştirmenin yeterince etkili bir çözüm olmadığı, üstelik paradoksları çözmeye değil, önlemeye yönelik olduğu çok geçmeden görülür. İkinci öneri, paradoksları hem önlemeye hem de açıklamaya yönelik görünmektedir. Bilindiği gibi, bir kümeyi elemanları belirler. Elemanlardan herhangi birini kümeye başvurarak belirleme yoluna gittiğimizde, döngül bir tanımlamaya düşmüş oluruz. Buna göre, bir kümede, ancak o kümeye başvurularak tanımlanabilen elemana yer yoktur. Kuşkusuz bu kural küme kavramını sınırlayıcı niteliktedir. Ancak, Cantor’un genel küme kavramının yol açtığı paradoksları önlemek için böyle bir sınırlamayı göze almak kaçınılmaz görünmektedir.

       Paradokslar sorununa, çeşitli çaba ve çözüm önerilerine karşın henüz üzerinde herkesin birleştiği bir çözüm getirilememiştir. Sorunun matematikçilerle filozofları, sözcükleri kullanmada, önermeleri oluşturmada daha dikkatli ve titiz davranmaya itmekle birlikte, dikkatleri matematiğin temellerine yöneltmekte de son derece yararlı bir sonucu olduğu yadsınamaz. Matematikle empirik bilimlerin ilerlemesinde benzer ve farklı yanlar vardır. İki alanda da genellikle her atılım bir bunalımı izler. Ne var ki, bilim, hiç değilse kuramsal düzeyde, kümülatif değildir. Yeni teori, çözüm getirdiği bunalıma yol açan eski yerleşik teoriyle temelde bağdaşmaz niteliktedir. Matematikte ise ilerleme büyük ölçüde kümülatif niteliktedir. İrrasyonel sayılar rasyonel sayıların, sanal sayılar gerçel sayıların yadsınmasını gerektirmemiştir. Tam tersine, matematikteki her atılım, daha önce ulaşılmış olan birikime dayalı bir açılma, ya da genişleme demek olmuştur.

 

  
      

 

 

 

 

 

Matematik Felsefesi Ekolleri   

 

 

MANTIKÇILIK

 

Matematiğe sağlam bir temel oluşturma yolunda en göz alıcı felsefe girişiminin mantıkçılık olduğu söylenebilir. Frege’nin öncülüğünde belirgin bir kimlik kazanan mantıkçılık, kökeni daha gerilere uzanan bir görüştür. Daha XVII. Yüzyılda Leibniz mantıkçılık tezini andıran düşünceler ileri sürmüştür. Ona göre mantığın kavram ve ilkeleri tüm diğer bilimlerin temelinde yer alan düşünceleri oluşturuyordu. Frege’den hemen önce tanınmış matematikçi Dedekind aritmetiği mantıksal bir yöntemle ele almıştır. Ancak Frege’in yaklaşımı daha kesindi. Ona göre aritmetik mantığa indirgenerek temellendirilmeliydi. Bu yaklaşım bir yandan matematiği ampirik bir bilim sayan Mill’in görüşüne, diğer taraftan matematiksel önermeleri sentetik  apriori doğrular sayan Kant’ın öğretisine ters düşmekteydi. Frege’nin mantıkçılık diye bilinen bu tezi çarpıcı olduğu kadar özünde de basitti. O matematik temelde mantıkla özdeştir der. Frege aritmetiği Russell ise tümüyle matematiği mantığa indirgeme yolundan mantıkçılık tezini ispatlamaya koyulurlar. Girişimin gerçeklik kazanması şu iki koşulun yerine getirilmesine bağlı görülmüştür:

 

1)     Tüm matematiksel kavramların salt mantıksal terimlerle belirtilip tanımlarını vermek

2)     Matematiğin tüm aksiyom ve teoremlerini mantığın temel ilkelerinden çıkarsamak.

 

Bir tanımlama sorunu olan ilk koşul, her şeyden önce, tanımlayıcı olarak kullanılacak mantık terimlerinin belirlenmesini gerektirmekteydi. Bunlar örneğin “mantıksal değişmezler” denen “değil”, “ve”, “veya”, “ise”, “tüm”, “bazı” gibi hiçbir bağlamda vazgeçilemeyen sözcüklerdir. Frege’den önce kimi matematikçiler mantıksal kavramlar arasındaki ilişkilerle ilgilenmiş, aritmetiğin tüm kavramlarının doğal sayılara indirgenebileceğini göstermiştir. Mantıkçılığa kalan iş doğal sayıları mantık terimleriyle dile getirmekti. Frege sayı kavramını küme kavramının yanı sıra eşdeğerlilik ilişkisine başvurarak tanımlama yoluna gider. Ona göre elemanları tam bire-bir karşılaşım içinde olan iki küme eşdeğerdir. Örneğin bir pardösüdeki düğmelerin kümesiyle iliklerin kümesi eşdeğer kümelerdir. “Bir kümenin sayısı” kendisine eşdeğer olan tüm kümelerin kümesi demektir. Örneğin 2 sayısı tüm çift elemanlı kümelerin kümesi olarak tanımlanır. Çift elemanlı her küme (örneğin bir çift çorap vb.) 2 sayısının somut bir örneğidir, ama 2 sayısı bu türden somut örneklerin tümünü kapsayan kümedir. Sayı ise daha genel bir kavram olup, her biri bir küme oluşturan 0,1,2,3gibi tikel sayıların her birini içine alan kümedir. Buna göre her tikel sayı, sayının bir örneğidir.

 

Mantıkçıların benimsediği bu tanımlama ne var ki birtakım eleştirilere uğramaktan geri kalmamıştır. Bunlara daha sonra değineceğiz.

 

Frege’nin yanı sıra Peano’nun bir yandan aritmetiği aksiyomatik bir sistem olarak kurması, diğer taraftan bu sistemin önermelerini (postulat yada teorem) son derece işlek bir yöntemle dile getirmedeki başarısı mantıkçılığa önemli bir güç sağlar. Peano’ya gelinceye dek aritmetik, geometride iki bin yıl önce gerçekleşmiş olan mantıksal düzenlemeye uzak kalmıştır. İlk kez Peano tüm aritmetiği üç ilkel terime (“sayı”,”sıfır”, “…ni izleyen”) ve bu terimlerin ilişkilerini dile getiren beş postulata (1. Sıfır bir sayıdır. 2. Herhangi bir sayıyı izleyen de bir sayıdır. 3. Aynı sayıyı farklı iki sayı izlemez. 4. Sıfır hiçbir sayıyı izlemez. 5. Sıfıra ait bir özellik, herhangi bir sayıya ait olduğunda onu izleyen sayıya da ait ise tüm sayılara aittir. ) dayanan bir sistem olarak kurar. Dikkatle bakıldığında Peano postulatlarının birlikte doğal sayılar türünden dizileri tanımlamakta olduğu görülür. Seçilen dizi bir sayı olan, ama hiçbir sayıyı izlemeyen “sıfır”la başlamaktadır. Dizide her sayıdan sonra gelen de bir sayıdır, ancak farklı iki sayıyı aynı sayı izlemez. Postulatlardan sonuncusu dizideki tüm elemanlara ait özellikleri saptayan “matematiksel indüksiyon” ilkesini sunmaktadır.

 

Peano postulatlarının sağladığı ekonomiye karşın mantıksal yönden tümüyle doyurucu olduğu söylenemezdi. Matematik bunlar gibi başka postulatlar üzerine de kurulabilirdi. Bu demektir ki, ilkel terim ve postulatların seçiminde Peano belli bir zorunluluğa bağlı kalmamıştır. Nitekim Peano’nun kendisinin postulatlarını gerekçelendirme yolunda herhangi bir çaba içine girdiğini görmüyoruz. Gerekçelendirmeyi bir sorun olarak Frege ele almıştır.

 

Frege, Peano postulatlarını mantık ilkelerinden çıkarsama yoluyla temellendirmeye koyulur. Böyle bir çıkarsama hem keyiflik izlenimini silmeye, hem de aritmetiğin mantığa indirgenebileceğini göstermeye yarayacaktı. Bu arada özellikle sayının mantık terimleriyle tanımı verilerek sayı kavramı bulanıklıktan kurtarılmış olacaktı. Aritmetiği mantığa indirgeme çalışmasında başlıca sorunu “sayı” nın açıklığa kavuşturulması olarak gören Frege şöyle demiştir:

 

Matematikte sayının ne olduğu üzerinde bu güne değin bir açıklığa ulaşılmamış olması bir skandaldır. Sayının herkesin kabul ettiği bir tanımının olması hoş karşılanabilirdi, yeter ki, sorun üzerinde genel bir anlayış olsaydı. Oysa sayının bir nesneler kümesimi yoksa kara tahta üzerinde insan eliyle çizilen bir şekil mi; psikolojiden öğrenmemiz gereken ruhsal bir nesne mi, yoksa mantıksal bir yapıt mı; gelip geçici bir icat mı, yoksa sonsuza dek sürecek bir varlık mı?  olduğu bile belirlenmiş değildir. Matematik kendi önermelerinin içeriğini oluşturan düşünceyi, daha doğrusu inceleme konusunu bilmemekte, uğraştığı nesnelerin doğasını anlamaktan uzak kalmaktadır. Peki, bu bir skandal değilse nedir?

 

Gerçekten, Frege’ye gelinceye dek sayıya ilişkin verilmiş tanımların hemen tümü mantıksal yetersizlik içindeydi. Pek çok matematikçinin gözünde sayı ile çokluk özdeş kavramlardı. Russell, Frege’ye borçlu olduğumuz bu çözümlemeden önce sayı ile çokluğun karşılaştırılmasını, sayı kavramını tam bir belirsizlik içinde tutan bir  “saçmalama” olarak nitelemiştir.

 

Frege’nin sayıya ilişkin getirdiği kavramsal çözümleme ışığında Peano postulatları aritmetiğin mantığa indirgenmesinde aranan olanağı taşıyor görünüyordu. Postulatları oluşturan üç temel terimden biri, “…ni izleyen”, zaten mantıksal bir terimdi. Diğer iki terimin, “sıfır” ile “sayı” nın mantık terimleriyle tanımlanmaları sorunu çözmeye yetecekti. Üstelik “sıfır” ın bir sayı olarak belirlenmiş olması, sorunu daha da basitleştirmekte, yalnızca “sayı”nın tanımıyla yetinmeye olanak vermekteydi. Frege’nin, sayıyı belli bir kümeye benzer ya da ona eşdeğer tüm kümelerin kümesi, “sıfır”ı da tüm boş kümelerin kümesi diye tanımlayarak bu işi başardığı söylenebilir.

 

Frege ile Peano’nun çalışmaları mantıkçılığın ilk aşamasını oluşturur. İkinci aşama Russell ile başlar. Russell çalışmasını önce 1903 te yayınlanan Principles of Mathematics adlı yapıtında, daha sonra Whitehead ‘le ortak yazarı olduğu ve modern mantığın anıtsal yapıtı sayılan Principia Mathematica’da ortaya koyar. Russell matematiğin mantığa indirgenmesi ötesinde iki disiplinin özdeş olduğu tezinin tüm kapsamıyla  Principia Mathematica’da  kanıtlandığı savındadır. Frege’de olduğu gibi Russell’in çalışmasında da hareket noktasını Peano’nun postulatları oluşturur.

 

Mantıkçılığın yadsınmayacak önemli bir başarısı, biçimsel mantıkla matematiğin ilişkisini kanıtlamanın yanı sıra, tüm klasik matematiğin tek bir biçimsel sisteme indirgenme olanağını göstermiş olmasıdır. Bu sonuç, Hilbert gibi mantıkçılık tezini benimsemeyen matematikçi düşünürlerin de gözünden kaçmamıştır. Çünkü öyle biçimsel bir sistem, her şeyden önce, matematikte aranan tutarlılığı göstermesi bakımından önemliydi.  

 

Eleştiri

 

Mantıkçılığı değerlendirirken eleştirel nitelikte birkaç noktaya değinmeden geçmemeliyiz. Bu noktalardan biri matematiksel kesinliğin doğasına ilişkindir. Mantıkçılar, Kant’ın tam tersine, matematiğin bir konusu olmadığı, yalnızca analitik nitelikte kavramsal ilişkilerle uğraştığı sayıl tısından hareket ediyorlardı. Onlara göre matematiksel doğruluğun kesinliği, matematiğin tümüyle dedüktif olan mantıksal temelinden kaynaklanan totolojik bir kesinliktir. Matematiksel kesinliği insan aklının yapısal özelliğine ya da sezgi yetisine bağlayan matematikçi düşünürlerin (örneğin Poincare) matematiği totolojik bir dizge sayan mantıkçılık tezini benimsemeleri beklenemezdi kuşkusuz. Nitekim Poincare, matematiksel kesinliği matematiğin dedüktif olduğu savıyla değil, “matematiksel indüksiyon” ilkesiyle açıklamaktadır. Onun gözünde bu ilke, “akıl” denen zihinsel yetenek yada sezginin bir ürünüdür. Matematiği verimli ve yaratıcı bir çalışma kimliği kazandıran şey mantık değil, akıl yada sezgimizin temel özelliğini yansıtan matematiksel indüksiyon türünden düşünme biçimleridir. Böyle bir ilkeye başvurmaksızın matematiği mantığa indirgemeye olanak yoktur. Sezgiye yer vermeyen matematikte yeni buluşlara gitme şöyle dursun, ispat bile yapılamaz. Başvurulduğunda ise ortaya konan indirgeme döngülü bir çıkarım olmaktan ileri geçmez.

 

Mantıkçılığın eleştirisi günümüzde de sürmektedir. Örneğin, Steiner, aritmetiğin indirgendiği teoriyi aritmetikten daha az kesin saymaktadır. Gerçekten sayıları küme kavramına indirgemenin matematiğe daha sağlam bir temel oluşturduğu pek çok kimsenin gözünde kuşku konusudur. Kaldı ki, her şeyden önce kümeler teorisinin, matematiğin değil mantığın bir parçası olduğu ortaya konmalıdır. Bu nokta bugün bile açıklığa kavuşturulmuş değildir.

 

Tüm eleştirilere karşı çıkmalara karşın, matematiğin temelde mantıktan başka bir şey olmadığı öğretisinin etkinliğini yitirdiği söylenemez. Russell iki disiplinin özdeş olduğu savını kendine özgü açık ve çarpıcı diliyle şöyle ortaya koymaktadır.

 

      Matematik ve mantık, tarihsel gelişimleri bakımından tümüyle farklı konular olmuştur. Matematik bilimle, mantık ise Grekçe ile birlikte yürümüştür. Ama ikisi ninde modern çağlarda büyük atılım içine girdiğini görmekteyiz. Mantık daha çok matematikleşmiş, matematik mantıksal nitelik kazanmıştır. Öyle ki, ikisi arasında bir çizgi çizmeye artık olanak yoktur. Çünkü ikisi özdeştir. Aralarındaki fark gençle yetişkin arasındaki farka benzer: mantık matematiğin gençliği, matematik mantığın olgunluk çağını temsil etmektedir. Bu görüşü hem matematikçiler hem de mantıkçılar tepkiyle karşılamakta. Mantıkçıların tepkisi, tüm zamanlarını klasik metinleri incelemeye vermiş olmaları nedeniyle simgesel terimlerle dile getirilmiş herhangi bir çıkarsamayı anlama yetersizliğinden, matematikçilerin tepkisi ise, öğrenmiş oldukları bir tekniğin anlam ve rasyoneline eğilme çabasını göze alamamaktan doğmaktadır. Ne var ki tepkiyi gösterenler her iki alanda da azalmaktadır. İki disiplin çeşitli yönleriyle öylesine kesişmektedir ki, aralarındaki sıkı ilişki konuyu bilen hiçbir öğrencinin gözünden kaçmayacak kadar açıktır. Özdeşlik savımızın ispatı teknik ayrıntılara inmeyi gerektiren bir sorundur. Mantığa ait olduğu kuşku götürmez öncüllerden başlayıp, dedüktif çıkarımla matematiğe ait olduğu sonuçlara ulaştığımızda, iki alan arasında hiçbir noktada kesin bir ayırım yapılamayacağını kolayca görürüz. Ama gene de sözünü ettiğimiz özdeşliği içine sindiremeyenler çıkarsa, onları, Principia Mathematica’nın zincirleme giden tanım ve çıkarımlarının hangi noktasında mantığın bitip matematiğin başladığını göstermeye çağırırız. Görülecektir ki, verecekleri yanıt keyfi olmaktan ileri geçmeyecektir.

 

PLATONCULUK

 

Yirminci yüzyıl “Platoncu matematik” olarak biline gelen çalışma ilkelerini ve ona bağlılıklarını ifade eden makaleleri kesin bir şekilde betimlemiş değildir. Ancak bu ilkelerin başlıcalarını şunlardır:

 

-          Gerçel sayı dizgesi gibi, belirli ideal matematiksel büyüklükler bulunmaktadır.

-          Belirli tümdengelim biçimleri vardır.

-          Eğer matematiksel bir önerme akla yatkın geliyorsa, onun doğru yada yanlış olduğu kanıtlanabilir.

-          Matematik temel olarak, matematikle uğraşan insanlardan bağımsızdır ve ayrı olarak vardır.

 

Bu felsefi yaklaşımı şöyle belirtilebilir: Matematik, bizden bağımsız olarak var olan soyut yapılarla ilgili gerçekliklerden, bu gerçeklikleri kuran mantıksal savlardan, bu savların altında yatan yapılanmalardan, bu savları ve gerçeklikleri sergileyen simgelerin biçimsel kullanımlarından oluşur. Matematiğin, bunların dışında oluştuğu herhangi bir şey yoktur. Bu önerme, matematiğin felsefesine Platoncu bir yaklaşımdır. Şimdi biraz daha açalım.

 

Bu görüşe göre matematikçi, kendi matematiksel etkinliğinden önce gelen çeşitli soyut yapılarla karşı karşıyadır. O, bu yapıları yaratmaz, aksine bulur, keşfeder. Bunlarla ilgili çalışma sürecinde, bu yapılarla ilgili giderek arıtılan bir sezgi geliştirir. Sezgisi, kendisinden önce gelenler tarafından keşfedilen gerçekliklerden oluşur. Ve bu sezgisi kendisine yeni yapılar bulmasına, eski yapılarla ilgili yeni varsayımlar yapmasına olanak verir. Bu varsayımları irdelemek için, kendisinde beliren soruları yanıtlamak üzere, yapılanmaları devreye sokar, savlarda bulunur ve yeni kavramlar tanımlar. Bu yapılanmalar giderek matematiksel gündelik dilde ifade bulur, hesaplamalarla desteklenir, daha kesin ve biçimsel duruma gelir. Öylelikle, bunlar toplumsal olarak ulaşılabilen ve irdelenebilen bir konuma varır ve matematiğin içinde geliştiği daha geniş toplumsal diyalektiğin bir parçası olur.

 

Yukarıda ana hatları verilen Platoncu yaklaşımda öylesine bir rehavet vardır ki, gündelik yaşam paradigmasıyla hemen hemen hiç çelişmez. Bu bakımdan, matematiğin felsefesiyle hiç de ilgili olmayan birçok kişi farkında bulunmadan Platoncu bir görüntü çizer. Bu tatmin edici etkisiyle Plâtonculuk, belirleyici paradigmada yerini hep koruya gelmiştir. Çok az matematikçi veya felsefeci ya da düşün insanı onu aşmak gibi bir uğraşa girmiştir.

 

BİÇİMCİLİK (FORMALİZM)

Bir matematik felsefesi olarak biçimcilik; matematiksel sistemlere temel olarak biçimselleştirilmiş sistemler dışında başka hiçbir şekilde bakmama görüşüdür. Yani diğer düşünce önerileri gibi indirgemeci değerlendirmelerdir. Biçimcilik; temellendirmeyi matematiğin kendi içerisinde bir yeniden düzenleme ya da arındırmayla gerçekleştirmeyi öngörmüştür. David HİLBERT(1862-1943)’in öncülüğünde oluşan formalist öğreti bir reform programı niteliğindedir. Amaç; program, kümeler teorisinden kaynaklanan paradokslar ile sezgicilerin klasik matematiğe yönelttikleri eleştiriler karşısında matematiğin tutarlılığını güvence altına almaktır.

Konu: Formalist öğreti açısından matematik; soyut nesne ve ilişkileri konu alan simgesel bir sistemdir.  Öyle ki, sistemi oluşturan terimler anlamsız birer simge, ilişkileri dile getiren tümceler içerikten yoksun birer önerme kalıbıdır.

Hilbert ve onu izleyenlere göre matematik, mantığa indirgenerek değil, simgesel aksiyomatik bir yapıya dönüştürülerek temellendirilmeliydi. Ancak öyle bir dönüştürme ile istenen tutarlılığa gerçekleşme ve yoklanma olanağı sağlanabilirdi. Onların gözünde klasik matematikte uygulanan tutarlılık ispat yöntemi de yetersizdi.

Hilbert’in öklid geometrisini soyut aksiyomatik bir dizgi olarak mantıksal yetkinliğe ulaştırma çabası ona, matematiğin tümünde aynı yetkinliği gerçekleştirme umudunu vermişti. Hilbert bu deneyimine dayanarak, tutarlılık ispatı için matematiğin mantıksal bir dizge ya da kuralları belli satranç türünden bir oyun olarak alınması görüşündeydi. Örneğin 1+1=2 tümcesinde eşitliğin iki yanındaki sayılara 1+1 ile 2 ‘nin birbirinin yerine kullanabileceğimiz simgeler olmaktan başka bir anlam taşımadıkları gözüyle bakılmalıydı. Kurduğumuz bu dizgenin tutarlılığı, dizgenin kendi kuralları içerisinde bizi 2≠2 gibi bir sonuca götürme olasılığı taşımadığı gösterilerek sağlanmalıydı. Oysa klasik matematikte tutarlılık yoklaması yorum ya da model yöntemine dayanıyordu. Buna göre matematiksel bir çalışmanın tutarlılığı, tutarlılığı varsayılan başka bir dizge model alınarak yoklanıyordu. Örneğin geometrinin tutarlılığını göstermek için aritmetiğin ya da tersine aritmetiğin tutarlılığını göstermek için geometrinin model alınması gibi. Bu şekilde tutarlılık yoklaması sorunu bir alandan başka bir alana kaydırma biçimini almıştır(bu da bizi ya döngül çıkmaza sokar ya da sonu gelmez bir geriye gidişe iter.). Hilbert tutarlılığın bu sakıncaları taşımayan doğrudan bir yöntemle belirlenebileceğini göstermek istiyordu. Bir dizgenin tutarlı olması, herhangi bir çelişki içermemesi yani dizgenin önerme kalıpları arasında P ve P-değil gibi birbiriyle çelişen iki tümceye yer olmaması demekti. Hilbert “İspat teorisi” yada “Meta matematik” diye bilinen çalışması öğrencisi Bernoys ile ortaklaşa yazdıkları matematiğin temelleri adlı iki ciltlik yapıtında ortaya koyar. Matematiğin kendi içerisine döndüğü kendi kendine araştırdığı bir alan olan meta matematik; matematikte neyin başarılabileceği veya neyin başarılaşamayacağını araştırmaktır. Temel düşünce; kâğıt üzerine işaretler koyarak oynanan aksiyomlardan, teorem çıkarmaya yarayan bir oyun olarak düşünülmesidir. Nitekim formalizmin principia mathematica’sı sayılan bu çalışmanın daha ilk cildi(1934) yayımlanmadan beklenmedik bir gelişmeyle karşılaşılır. Bu program Gödel’in 1931’de yayımlanan çalışması ile umut kırıcı bir darbe yer.

     Gödel Darbesi (1931)

Hilbert programının başlıca amaçlarını;

(1)Matematiğin aritmetik, geometri, analiz ve kümeler teorisi gibi dallarını(sonunda tüm matematiği) aksiyomatikleştirmek;

(2)Her dalda kurulan aksiyomatik dizgenin çelişki içermeyen tutarlı bir teori olduğunu ispatlamak;

(3)Tutarlılığı ispatlanan teorinin aynı zamanda tam(yani dizgenin kurallarına göre oluşturulan P yada P-değil gibi her tümcenin dizgenin öncülleri aksiyomlardan çıkarsanabilir )olduğunu göstermek;

(4)Tutarlılığı ve tamlığı ispatlanan teoremin kategorik(yani teorinin tüm yorum ya da modellerinin izomorfik)olduğunu belirlemek diye dört noktada özetleyebiliriz.

Gödel teoremleri,formalist programın can alıcı iki amacına(tutarlılık ve tamlık) son derece basit dizgeler dışında gerçekleşme olanağı tanımamaktadır.Daha net bir ifadeyle Gödel’in keşfettiği şey şuydu; toplama,çarpma ve 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (Peano aksiyomlarıyla oluşan bir dizge) ile ilgilenirsek bunlar hakkındaki bütün gerçeği ve sadece gerçeği elde etmeye çalışan herhangi bir aksiyomlar kümesi eksik olmaya mahkumdur. Yani bu aksiyomatik sistem ya tutarsız ya da eksik olacaktır. Dolayısıyla eğer siz bir aksiyomatik sistemin yalnızca doğruyu söylediğini kabul ederseniz, o zaman bu sistem size bütün doğruları söylemeyecektir. Eğer aksiyomların sizin yanlış teoremler ispatlamanıza izin vermediğini kabul ederseniz, bu durumda aksiyomatik sistem eksik olacaktır yani bu aksiyomlardan çıkan fakat ispatlayamayacağınız doğru teoremler olacaktır!

Dahası Gödel’in yaptığı şey kendi kendine cümle üretmektir.

          “Bu cümle ispatlanamaz!”                                                       

Eğer ispatlanabilirse, cümle yanlıştır. O halde siz yanlış sonuçlar çıkmazdasınız, yanlış sonuçları ispatlamaktasınız. Dahası eğer cümle ispatlanamazsa ve ispatlanamaz olduğunu söylüyorsa, bu durumda o cümle doğrudur ve matematik eksiktir.(tamamlanamaz)                                                   

     Unutmamak gerekir ki formalizm Gödel’den öncede matematikçilerin kolayca benimsedikleri bir öğreti değildi. Matematiğe tutarlılığın ispatı ya da başka nedenle de olsa içeriksiz, biçimsel bir oyun gözüyle bakmak pek çok matematikçinin içine sindiremediği bir tutumdu. (Bunlardan biri Hilbert’in öğrencisi tanınmış matematikçi Richard Courant’dı. bir başka isimde Von Neumann’dır. Fakat  Neumann Hilbert’in yanılmış olabileceğini hiçbir zaman aklına getirmemişti.) Tanınmış matematikçi R.Hersh de şu şekilde bir benzetme yapmıştır;”Matematikçi de hafta günlerinde işlediği günahı Pazar günü kilisede çıkartan pragmatist işadamı gibi, hafta boyunca Platonist (gerçekçi) pazar günü formalisttir(biçimci).”

Sonuç; Hilbert programının gerekçesini şöyle belirtmişti:

“Teorimin amacı matematiksel yöntemlerin güvenilirliğini bir daha tartışılmayacak bir kesinlikle ortaya koymaktı”.Aranan matematiğin salt kendi içinde bir kesinlikse bunu bulamayacağımızı Gödel teoremleri göstermiştir. Fakat bu durum Hilbert programının iki temel amacının (tamlık ve tutarlılık) erişilemez olduğu demek değildir. Sorunun bir ölçüde de olsa başlangıçta konan aritmetik ve mantık aksiyomlarıyla sınırlamadan kaynaklandığı söylenebilir. Nitekim sınırlama yapılmadan Gentzen sonsuz indüksiyonu içeren yöntemiyle tüm aritmetiğin tutarlı bir dizge olarak kurulabileceğini göstermiştir. Carnap’ta şu şekilde belirtmiştir;”matematiği sayısız dizgelerin bir bütünü saymak daha yerinde bir belirleme olur. Matematiği az sayıda aksiyomlardan çıkarsana bilen bir yığın teoremden ibaret saymak yanlıştır.”

Gregory John Chaitin’in Matematiğin temelleri üzerine uyuşmazlık yüzyılı isimli makalesinde biçimciliğin farklı sonuçlarını da ele almıştır. Biçimcilik akıl yürütme veya mantıksal çıkarım için değil de programlama ve hesaplama son derece başarılı olmuştur. Gödel’in orijinal ispatı çok zekicedir ve anlaşılması güçtür. İçinde yığınla karmaşık teknik detay vardır. Fakat içinde çok sayıda LİSP programlaması var veya en azından LİSP programlamasına benzer çok şey var. Gödel’in ispatı çok sayıda yinelen fonksiyon içerir ve bu fonksiyonlar listelerle ilgilenen fonksiyonlardır ki bunlar LİSP’in tama olarak ne olduğudur.  Fakat 1931’de insanlar bunun ne anlama geldiğini bilmiyordu. Gödel’den 5 yıl sonra 1936 yılında ikinci önemli adımı Turing atar. Turing sadece Gödel’in üzerinde çalıştığı aksiyomatik sistemin yani sadece sayma sayıları için değil hiçbir biçimsel aksiyomatik sistemin işleyemeyeceğini göstermiştir. Hilbert bir ispatın kurallara uygun olup olmadığına karar verecek “mekanik bir izlek” olması gerektiğinden bahseder. Fakat mekanik bir izlek ile ne kastettiğini netleştirememiştir. Fakat Turing aslında kastedilen şeyin bir makine olduğunu söyledi ve buna Turing makinesi dendi. Felsefi sorunlardan ilham alınarak icat edilen bu makine oyuncak bir bilgisayarın matematiksel bir modelidir. Turing bunu herhangi gerçek bir bilgisayar icat edilmeden önce yaptı ve sonrada sahiden bilgisayar yapmaya koyuldu. İngiltere deki ilk bilgisayarlar Turing tarafından yapıldı.(Turing 2.dünya savaşı sırasında Alman şifrelerinin kırılmasında çok önemli bir rol oynadığı için savaş kahramanı sayılmıştır.1952 yılında şantaja maruz kaldığı şikâyetiyle polise başvurup eşcinsel olduğunu açıklayan Turing eşcinsellik suçundan yargılanıp 1 sene boyunca östrojen iğnesi olmaya mahkûm edilmiştir.1954 yılında zehirli elma yiyerek intihar etmiştir. Adı ayrıca anısına verilen ve bilgisayar biliminin Nobel’i sayılan Turing ödülü ile akademik bilişim dünyasının bir parçası olmuştur).

 

SEZGİCİLİK

Diğer felsefi çözümlere karşı bir tepki olarak ortaya atılan sezgicilik, matematiksel nesne ve kuruluşların varlık sorununu ön plana çıkarır. Yine indirgemeci geleneğin bir koludur.

Sezgicilik, kavram ve çıkarımlara somut içerik sağlayan bir sezgiyi matematiğin tek geçerli yöntemi sayan bir görüşü temsil etmektedir. Kısaca sezgicilik, sonlu adımda inşa yöntemiyle matematiğin sezgisel olarak bildiğimiz doğal sayılar üzerine kurulabileceği tezini içermektedir. Bu görüşte kavram ve çıkarımların tam bir belirginlikle ortaya konması gereği üzerinde durulur. Oysa sezgicilere göre matematik başlıca dallarında(analiz, kümeler teorisi, hatta sayılar teorisi, v.b) bu gereği karşılamaktan uzak kalmıştır.

20.yy ın ilk yarısında felsefi bir görüş olarak etkinlik kazanan sezgiciliğin(kimi kez “inşacılık” da denmektedir) iki tanınmış lideri L.E.J.B Rouwer ile A.Heyting’dir. Brouwer’ın 1907 de yayımlanan çalışması bu yolda ilk önemli adımı atmakla birlikte, sezgici düşüncenin kökeni Kant’a hatta antik Yunan dönemine uzatanlar da vardır.

L.Kronecker’e göre de matematiğin en sağlam temeli sezgisel olarak oluşan doğal sayılarla onlara ilişkin işlemlerde aranmalıydı. Matematikte tanım ve ispatlar ancak sonlu adımda inşa edilebilir nitelikte ise geçerli sayılmalıydı. Kronecker, matematikte işlenen her nesne ya da kavramın doğal sayılardan kalkarak kurulabilir olduğunun gösterilmesini istiyordu. Kurulabilirlik matematiksel varlık için vazgeçilmez bir koşuldu. Daha açık bir deyişle, matematiksel bir nesnenin var kabul edilebilmesi için bu nesnenin inşa edilebilirliğine ilişkin geçerli bir kural ya da işlemin ortaya konması gerekmekteydi. Geçersiz bir işleme örnek olarak Kronecker “olmayana ergi” yöntemini göstermişti.Bilindiği gibi bu yöntem bir nesnenin varlık(ya da bir teoremin doğruluk) ispatını, o nesnenin yok(ya da o teoremin yanlış) sayıldığında ortaya çıkan çelişkiye dayamakta,bu ise söz konusu nesne ya da teoremin inşa edilebilirliğine bir kanıt sağlamamaktadır.

Kimi düşünceleriyle sezgiciliğe katkıda bulunan bir başka matematikçi de Poincare’dir. Poincare matematiksel her kavramın belirtik bir tanımlamaya elverişli olmasını ister. Bu ölçüte vurulduğunda Cantor’un kümeler teorisinin bazı kavram,teorem ve yöntemleri onun için geçersizdi.Matematiksel düşünmenin gerçek aracını matematiksel indüksiyonda bulan Poincare bu yöntemin sezgisel olarak daha basit bir yönteme indirgenebileceğine olanak görmüyordu.

Matematik felsefesindeki dört akım arasında tartışma konusu olan bir başka önemli nokta da sonsuz sayı, küme ya da koleksiyon kavramıydı. Cauchy ile Weierstrass’ın daha öce kalkülüsü “sonsuz nicelikler” kavramından arındırmadaki başarıları Hilbert gibi Brouwer’i de tüm matematiği aynı kavramdan arındırmaya sevketmiştir.Hilbert matematikte sonsuza yolmayı anlamsız buluyordu.Ona göre fiziksel bilimlerin bile bu türden karanlık kavramlara artık yer vermediği düşüncesindeydi.Bu görüşe karşı çıkan Russell fiziksel varlıkla olası varlık kavramlarının karıştırılmaması gerektiğini,matematik için yalnızca olası varlık kavramının söz konusu olabileceğini vurgular.Nitekim Principia mathematica’nın ikinci basımında (1925) sonsuzluk aksiyomunu genel bir varsayım olarak değil,kimi teoremlerin ispatında öncül işleri gören bir hipotez olarak kullanıldığını görmekteyiz.Sezgiciler için tanımı belirgin olmayan çokluklara ilişkin önermeleri doğruluk değeri bu çokluklar ispatlanmadıkça yoktur.Sezgiciler sonsuz kümelerin inşa edilebilir belirgin tanımlarının verilemeyeceği düşüncesiyle klasik matematikte geçerli sayılan pek çok ispatı reddetmişlerdir.Klasik matematikçi bir savı ispatlamadığı halde doğruluk değeri(doğru yada yanlış) olan bir önerme sayar.Oysa sezgici  için böyle bir savın ispatı verilmedikçe doğruluk değerinden söz edilemez.Sonsuz bir çokluk sonlu adımda inşa edilebilir bir nesne değildir.Kuşkusuz belli adımlarla giderek genişleyen bir küme ya da çokluğu sezgisel olarak kavrayabiliriz.Örneğin herhangi bir doğal sayı “sonsuz” denen doğal sayılar kümesinin bir üyesi olarak değil,sezgisel olarak var olan 1,2,3,v.b doğal sayılarla sonlu adımda oluşturulabilen bir nesne olarak varlık kimliği taşır.(Oysa Dedekind,Weierstrass ve Cantor gibi seçkin matematikçiler “sonsuz küme” kavramını geçerli saymış ve kullanmışlardır.)

Yani, sezgiciler için matematiğin ayırıcı özelliği; matematiğin zihinsel bir etkinlik oluşunda, matematiksel kavramların sezgisel verilerle inşaa edilebilirlik yönteminde aranmalıdır. Buna göre sayı, küme gibi matematiksel nesneler zihinde inşa edilebilirliği ölçüde varlık kimliği kazanır.  

 

 

SONUÇ

Matematiğin temellerine ilişkin incelediğimiz görüşler başlangıç dönemlerindeki canlılıklarını artık korumamakla birlikte tartışmalar bugün de sürmektedir. Son olarak ünlü felsefeci H.Putnam ve ünlü matematikçi I.Stewart’ın kaleminden çıkmış yazılarıyla bitirelim.

 

Putnam; Filozoflar ile mantıkçılar son elli yıl boyunca matematiğe bir “temel” bulma yolunda öylesine yoğun bir çaba içerisine girmişlerdir ki, yalnızca birkaç cılız ses matematiğin temele gereksinmesi olmadığını söyleme cesaretini gösterebilmiştir. Ben bu cılız seslere katılmak istiyorum. Kanımca matematik açıklık getiren bir konu değildir;temellendirilmesine ilişkin bir bunalımı da yoktur.Dahası,matematiğin temeli olmadığı gibi,bir temele ihtiyacı olduğuna da inamıyorum.(“Mathematics Without Foundations “Journal of Philosophy ,1967)

Stewart; Tüm sağlamlaştırma çabalarına karşın matematiğin temelleri sallantılı durumundan çıkmış değildir. Belki de matematiği çökertecek yeni güçlüklerle karşılacağız. Ne ki, bu pek olası görünmüyor. Matematikçiler kimi mantıksal güçlükler karşısında matematiğin çökmesine izin vermeyeceklerdir. Unutmamak gerekir ki, sezgi her zaman salt mantığı bastırmıştır. Teoremlerimiz uyum içinde kalıyor, bize anlayış ve heyecan sağlıyorsa, kimse bizden “kılı kırk yaran” mantıksal nedenlerle matematikten vazgeçmemizi beklemesin.(Concepts of Modern Mathematics)