Cebir

[Ana sayfaya dön]

 

ders notları

   

 

 

 

Cebir I  

Tek işlemli cebirsel yapılar, ikili işlemler, gruplar, grup homomorfisi, permütasyon grupları, bölüm grubu, operatör grup,Sylow teoremleri

Cebir I I

 İki işlemli cebirsel yapılar, halka, tamlık bölgesi, yarı cisim, cisim,  ideal, polinomlar halkası

Cebir III

Cisim genişlemeleri, cebirsel kapanış, cisim otomorfileri,parçalanış cismi, birimin kökleri, sonlu cisimler, ayrılabilen ve normal genişlemeler        

 

LÜTFEN DİKKAT !

 

▲Ders notlarındaki yada herhangi bir kaynaktan elde edilen Teoremlerin ve Özelliklerin detaylı ispatları,sadece konu hakkında düşüncelerini  belirten isteklilere gönderilir.▼Aksi halde, başvurulara yanıt verilmez

 

 

Prof. Dr. Erhan Güzel Tarafından Hazırlanmıştır

İstanbul Kültür Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi

 

 

ãCopyright- Kaynak belirtilmeden kullanılamaz

Ders Notları geniş içerik olarak verilmektedir. Detaylı ispatlar, örnekler, problemler ve çözümleri için derse katılmak ya da eksiksiz ders notları ve daha fazlasını için Uzaktan Öğretim sayfamıza bakmak gerekmektedir.

 

Kesintisiz 24 saat sesli ve animasyonlu eksiksiz ders sunumları, ispatlar, çözümlü problemler, problemler,

deneme sınavları

 

 

 

Sunumlar   http://udes.iku.edu.tr/   sayfasında yayında

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Prof. Dr. Erhan Güzel Tarafından Hazırlanmıştır

İstanbul Kültür Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi

 

 

                                                                                                   ãCopyright- Kaynak belirtilmeden kullanılamaz

Cebir I Ders Notları

 

 

Sunumlar   http://udes.iku.edu.tr/   sayfasında yayında

 

 

 

İÇİNDEKİLER

 

 

BÖLÜM 1

 

GİRİŞ

1.1 Küme                   

1.2 Tasvir                

1.3 Denklik Bağıntısı ve Sınıflara Ayrılış

1.4 Kümelerde Sıralama

1.5 Doğal Sayılar

1.6 Tam Sayılar

1.7 Tam Sayılarda Kongrüans

1.8 Kongrüans Denklemleri

1.9 Rasyonel Sayılar

 

 

 

 

 

BÖLÜM 2

 

İKİLİ İŞLEMLER VE CEBİRSEL YAPILAR

2.1 İkili İşlemler

2.2 İşlem Tabloları

2.3 Cebirsel Yapılar

2.5 Tek İşlemli Cebirsel Yapılar

2.7 İki İşlemli Cebirsel Yapılar

2.9 Cebirsel Yapılarda Homomorfi ve İzomorfi

 

 

 

 

 

 

BÖLÜM 3

 

GRUP

3.1 Grup Aksiyomları ve Temel Kurallar

3.3. Alt Grup

3.5 Devresel Grup

3.7 Simetrik Grup

3.9 İndeks

3.11 Normal Alt Grup

3.13 Bölüm Grubu

3.15 Gruplarda Homomorfi

3.17 Çekirdek ve İzomorfi Teoremleri

3.19 Normalizatör, Merkez, Komütatör

3.21 p-Grup, Sylow Teoremleri

 

Kaynaklar

1.  B. Baumslag,B. Chandler,  Group Theory

                                                Schaum’s outline Series,McGraw-Hill Book Company,1968

2.  G. Birkhoff, S. Maclane,  A Suevey of Modern Algebra

                                            Macmillan,New York,1965

3.  J.F. Fraleigh,  A First Cours in Abstract Algebra

                           Addiso-Wesley,Lopndon 1970

4.  I.N. Goldstein,  Abstract Algebra

                              Prentice Hall,New York,1973

5.  I.N. Herstein, Topics in Algebra

                           Blaisdell Publishing Co. New York-Toronto-London  1964

6.  S. Lange , Algebra

                      Addiso-Wesley,Reading-Massachusetts  1965

7.  W. Ledermann, Theory of Groups

                              Edinburgh,London,New York İnterscience Publishers  İnc. 1953

8.  H. Şenkon,  Soyut Cebir Dersleri Cilt I ve Cilt II

                         İ.Ü.Fen Fakültesi Basımevi 1998

 

BÖLÜM 1

 

GİRİŞ

 

Matematik öğrencileri için açılan ilk derslerde bir bakıma matematik inşa edilirken, matematikçilerin kendi aralarında anlaşabilecekleri bir dil oluşturulmaya çalışılır.    Cebir I dersinin anlaşılabilmesi için, oluşturulan dilin nasıl kullanıldığı ve aşağıda kısaca, konu başlıkları kapsamında tekrar edilen önceki bilgilerin iyice öğrenilmiş olması gerekmektedir:

 

1.1 Küme

 

Doğrudan ya da bir kurala bağlı olarak verilen, eleman adını alan birtakım nesnelerin topluluğuna küme denir. Örneğin a,b,c,..  gibi elemanlardan oluşan A kümesi ile 10 dan küçük ya da eşit doğal sayılardan oluşan B kümesi

 

A = {a,b,c,…} , B=  =

 

biçiminde gösterilir.

 

A ve B gibi iki kümenin birleşimi AB ve arakesiti AB biçiminde gösterilir. AB= ise A ve B ye ayrık kümeler denir. A ve B gibi iki kümenin kartezyen çarpımı  dir.

 

1.2 Tasvir

 

A ve B herhangi iki küme olsun. A kümesinin her a elemanını B kümesinin tek bir b elemanına götüren bir f kuralına A kümesinin B kümesi içine tasviri denir ve f: A→B ya da AB yazılır. Bir aA elemanına f tasvirinde karşı gelen b ϵB elemanına, a nın resmi (görüntüsü) ,b ye de a nın orijinali denir; Bu durum f(a)= b biçiminde gösterilir.

 

A dan B ye bir f kuralının bir tasvir ya da iyi tanımlı bir tasvir olması,

 

 

biçiminde ifade edilir.

 

f:A→B içine bir tasvir ve KB olsun .Bu durumda bir bB elemanının f tasvirindeki tam orijinaller kümesi f-1(b) ile gösterilir ve f-1(b)=   ; f-1(b)A dır. K kümesinin f tasvirindeki tam orijinaller kümesi

                   

biçiminde ifade edilir.

 

f bire bir ((1-1) biçiminde de ifade edilir) bir tasvir ise f: A >→ B yazılır ve bu durum

 

 

biçiminde ifade edilir.

 

f üzerine bir tasvir ise f: AB yazılır ve bu durum

 

 

biçiminde ifade edilir.

 

f üzerine ve (1-1) bir tasvir ise f: A > B yazılır. Bu durumda A ile B aynı kuvvettedir denir ve A~B yazılır.Bu durumda f tasvirinin tersi f-1 tasviri vardır ve f(a) = b ise ,          f-1 (b) = a   dır.

 

Bir A kümesini bir B kümesi içine resmeden bir f tasviri ile B kümesini bir C kümesi içine resmeden bir g tasviri verilmiş olsun. A nın her a elemanını C nin g(f(a)) elemanına götüren h tasvirine f ve g tasvirlerinin çarpımı (bileşkesi) denir ve h=gf (ya da h = gÑf) biçiminde gösterilir. Buna göre her aA için h(a) = g(f(a)) dır.

 

1.3 Denklik Bağıntısı ve Sınıflara Ayrılış

 

A kümesi üzerinde tanımlanmış ve aşağıdaki üç özelliği sağlayan bir “~”  bağıntısına bir denklik bağıntısı denir:

  1.  (refleksif ya da yansıma özelliği)
  2.  (simetri özelliği)
  3.  (tranzitif ya da geçişme özelliği)

 

yazılışı A kümesinin bir sınıflara ayrılışıdır.

 

Teorem 1.3.1. A kümesi üzerinde tanımlanmış her denklik bağıntısı A kümesinin bir sınıflara ayrılışını verir. Karşıt olarak, A kümesinin her sınıflara ayrılışı A kümesi üzerinde bir denklik bağıntısı verir.

 

1.4 Kümelerde Sıralama

 

Bir A kümesinin her x,y eleman çifti için tanımlanan ve aşağıdaki koşulları gerçekleyen bir “⌐” ikili bağıntısı verilmiş olsun:

       S1 .   x⌐x   (Yansıma)

       S2 .  , x⌐y , y⌐z  x⌐z  (Simetri)

Bu durumda ⌐ bağıntısına A kümesi üzerinde bir yarı sıralama bağıntısı ve A kümesine yarı sıralanmış bir küme denir. S1 ve S2 koşullarının yanında

       S3 .  , x⌐y , y⌐x  x=y  (Anti simetri)

koşulu sağlanıyorsa ⌐ bağıntısına A kümesi üzerinde bir sıralama bağıntısı ve A kümesine sıralanmış bir küme denir. S1 , S2 , S3 koşullarına ek olarak

       S4 .  , x⌐y veya y⌐x dır.

koşulu sağlanıyorsa ⌐ bağıntısına A kümesi üzerinde bir tam sıralama bağıntısı ve A kümesine tam sıralanmış bir küme denir.

 

1.5 Doğal Sayılar

 

N doğal sayılar kümesi aşağıda verilen Peano Aksiyomları ile tanımlanır; bu beş aksiyomun doğal sayıları tamamen belirtmeye yettiği de ispat edilir:

N1. 1 bir doğal sayıdır: 1 N

N2. Her n doğal sayısı için, n nin ardışığı denilen ve n+ ile gösterilen bir doğal sayı vardır : n+

N3. 1 hiçbir doğal sayının ardışığı değildir : n+ ≠ 1

N4. n doğal sayısının ardışığı tektir : n+ = m+ Þn = m

N5. 1 sayısı ve n ile birlikte bunun ardışığını da eleman olarak kabul eden doğal sayıların bir alt kümesi bütün doğal sayıları içerir;

 

M  , 1  ve n M için n+ ÞM = (Matematik İndüksiyon Özelliği)

 

 olmak üzere {1,2,3, … ,n} alt kümesine doğal sayılar kümesinin bir ön parçası denir. Bir A kümesi       {1.2.3, … ,n} ile aynı kuvvette yani A~ {1,2,3, … ,n} ise A bir sonlu kümedir. doğal sayılar kümesi ile aynı kuvvette olan her A kümesi sayılabilir sonsuz kümedir.

 

Doğal sayılar kümesi üzerinde toplama ve çarpma işlemleri ve büyüklük, küçüklük bağıntıları tanımlanır. Buna göre doğal sayıların temel özellikleri aşağıdaki gibidir:

 

       11 . (a+b)+c = a+(b+c)

       12 . a+b = b+a

       13 . a+x = a+y x=y

       21 . (ab)c = a(bc)

       22 .  ab = ba

       23 .  ax = ayÞx=y

       3 .   a(b+c) = ab+ac

       41 .  Her a,b N çifti için a<b , a=b , a>b den biri ve yalnız biri geçerlidir.

       42 .  a<b , b<cÞa<c

       51 .  a<bÞa+c < b+c

       52 .  a<bÞac < bc

       6 .  N doğal sayılar kümesinin boş olmayan her alt kümesinin bir minimal (veya en küçük) elemanı vardır.

 

1.6  Tam Sayılar

 

N×N = {(a,b) | a,b} kümesi üzerinde aşağıdaki gibi tanımlanan

(a,b)(c,d) Ûa+d = b+c

  bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. * denklik bağıntısının N×N kümesi üzerinde belirlediği sınıflara ayrılışta her [(a,b)] =  sınıfı bir tam sayıdır. Tam sayılar kümesi Z ile gösterilir. Buna göre, Z =  yazılır.

 

Pozitif tam sayılar kümesi Z+ =

 {0} =

Negatif tam sayılar kümesi Z- =

 

olmak üzere Z =Z+ {0}Z- yazılır.

Çift ve tek tamsayılardan oluşan kümeler sırasıyla Zç,Zt ile gösterilir. Buna göre aşağıdaki yazılışlar vardır:

 

Zç = {2n | nZ}    ,   Zt = {2n+1 | nZ}

 

Tam sayılar kümesi üzerinde toplama ve çarpma işlemleri ve büyüklük ,küçüklük bağıntıları tanımlanır.Tam sayılar başlığı altında kolaylık olması için tam sayıları a,b,c,x,y,... gibi küçük harflerle göstereceğiz.

 

ε = ±1 olmak üzere, a,b ÎZ  iki tam sayı ve ε = ±1 olmak üzere, a = εb ise a ile b aralarında ilgilidir denir.

 

Tanım 1.6.1. ±1 den farklı olan ve triviyal bölenlerinden (aÎZ  tam sayısının triviyal bölenleri  ±1 ve ±a dır.) başka hiçbir böleni olmayan bir tam sayıya bir asal sayı denir.

 

Z tam sayılar halkasında bölme algoritmesi (kalanlı bölmenin tekliği) olarak bilinen, aşağıdaki özellik geçerlidir:

 

“Her a,b ÎZ ; b ¹ 0 için, a = bq + r ; 0 £ r < | b | olacak biçimde q,rÎZ elemanları tek türlü olarak belirlidir; r = 0 ise, b a yazılır.”

 

Tanım 1.6.2 (ebob).  a,b ÎZ tam sayılarından en az biri sıfırdan farklı olmak üzere 

  1.  d a, d b,
  2. c I a , c I b Þc I d

 

koşuluna uyan bir d tam sayısına a ile b ni bir en büyük ortak böleni denir ve d=(a,b) yazılır.(a,b) = 1 ise ,a ile b aralarında asaldır denir

 

Tanım 1.6.3 (ekok).   a,b ÎZ  sıfırdan farklı iki tam sayı olmak üzere 

  1. a I k , k I k,
  2. a I t , b I t Þk I t

koşuluna uyan bir d tam sayısına a ile b ni en küçük ortak katı denir ve k=[a,b] yazılır.

 

Teorem 1.6.1 (Bezout Teoremi). a,b ÎZ  olmak üzere (a,b) = 1 Û x,yÎZ  ;      ax+by =1 dir.

 

Teorem (Aritmetiğin Esas Yardımcı Teoremi) 1.6.2.  a,b,cÎZ  ve c≠0 olmak üzere   a | bc  ve (a,b) =1 Þa |c  dir.

 

Teorem 1.6.3 (Asal Çarpanlara Ayrılışın Tekliği Teoremi ya da Aritmetiğin Esas Teoremi). Sıfırdan ve ±1 den farklı her tam sayı, birtakım asal sayıların çarpımı olarak gösterilebilir ve bu gösteriliş sıradan ve aralarında ilgililikten vazgeçildiğinde, tek türlü belirlidir.

 

Tamsayıların temel özellikleri aşağıdaki gibidir:

 

       11 . (a+b)+c = a(b+c)

       12 . a+b = b+a

       13 . Her a,b ÎZ çiftine karşılık a+x = b olacak biçimde bir ve bir tek   x ÎZ vardır.

       14 . Her a ÎZ için a+0= 0+a = a olacak biçimde bir ve bir tek   0 ÎZ vardır.

       21 . (ab)c = a(bc)

       22 .  ab = ba

       23 .  a≠0 ise ax = ay  den x=y elde edilir.

       24  . Her a ÎZ için ae= ea = a olacak biçimde bir ve bir tek e ÎZ vardır.(e = 1 dir.)

       3 .   a(b+c) = ab+ac

       41 .  Her a,b ÎZ çifti için a<b , a=b , a>b den biri ve yalnız biri geçerlidir.

       42 .  a<b , b<c  a<c

       51 .  a<b  a+c < b+c

       52 .  a<b , c>0  ac < bc

              a<b , c<0  ac > bc                  

              a<b , c=0  ac = bc

       6 .  Z  tam sayılar kümesinin boş olmayan alttan (üstten) sınırlı her alt kümesinin 

             bir en küçük (en büyük) elemanı vardır.

 

1.7 Tam Sayılarda Kongrüans

 

Modül adı verilen bir m≠0 tam sayısını göz önüne alalım. a,b ÎZ  olmak üzere,m a-b ise yani a ve b, m ile bölündüğünde aynı kalanı bırakıyorsa,a,b ye m modülüne göre kongrüdür denir  Bu bağıntı  a≡b (m) ya da a≡b (mod m) biçiminde ifade edilir ve a kongrü b modülo m şeklinde okunur. ≡ bağıntısı  Z üzerinde bir denklik bağıntısıdır.Buna göre ,tam sayıların herhangi bir m modülüne göre kalan sınıfları tam m tanedir ve bu sınıfların birer temsilcisi 0,1,2,…,m-1 dir.0≤k≤m-1 olmak üzere k tamsayısının bulunduğu sınıfı  ile ve tam sayıların  m modülüne göre kalan sınıflarından oluşan kümeyi Zm ile gösterirsek, Zm = {} dir.(k,m) = 1 ise  ye bir asal kalan sınıfı denir. ,      olmak üzere   =  ise , ve  ye bir sıfır bölen çifti denir.

 

Bir n doğal sayısını geçmeyen ve n ile aralarında asal olan doğal sayıların sayısı, yani modülo n asal kalan sınıflarının sayısı φ(n) ile gösterilir (Euler’in φ fonksiyonu). Burada (m,n) = 1 ise φ(mn) =  φ(m). φ(n) dir. Öte yandan, bir n doğal sayısının asal çarpanlara ayrılışı

  n =    (pi (i= 1,…,k) ler pozitif asal sayılar, αi (i= 1,…,k) ler doğal sayılar)

biçiminde ise,

dir.

 

Teorem 1.7.1. Zm deki bir kalan sınıfının tersinin bulunabilmesi için gerek ve yeter koşul, o kalan sınıfının bir asal kalan sınıf olmasıdır.

 

Teorem 1.7.2 (Küçük Fermat teoremi). P bir asal sayı olmak üzere, Zp de her   kalan sınıfı için  =   dir.

 

Not 1.7.1. Küçük Fermat teoreminin gruplar teorisindeki ispatı paragraf 3.9 da ayrıca verilecektir (Sonuç 3.9.5).

 

Teorem 1.7.3(Wilson teoremi). Her p > 2 asal sayısı için (p-1)! ≡ -1 (p)  dir.

 

 1.8 Kongrüans Denklemleri

 

a,b,mÎZ ve m>1 olmak üzere, ax ≡ b (m) biçimindeki bir kongrüansa bir bilinmeyenli bir lineer kongrüans denir. Bu kongrüansın çözümlü olabilmesi için gerek ve yeter koşul (a,m) b olmasıdır.

 

a,b,c ϵ Z– {0} olmak üzere ax +by = c biçiminde, tam sayılı çözümleri arana bir denkleme 1. dereceden 2 bilinmeyenli bir Diofant denklemi denir. Bu denklemin çözülebilmesi için gerek ve yeter koşul (a,b) c olmasıdır.

 

ai ÎZ (i = 0,1,…,n) ,a0 ≠ 0, mΠve m>1 olmak üzere,

a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an ≡ 0 (m)

biçimindeki bir kongrüansa bir bilinmeyenli, n. dereceden bir kongrüans denir. Bu kongrüansın bir özel hali olan 2. dereceden a0x2 + a1x + a2 ≡ 0 (m) kongrüansına bir kuadratik kongrüans denir. Bir kuadratik kongrüans x2 ≡ a (m) tipinde bir kongrüansa indirgenebilir, eğer bu son kongrüansın bir çözümü varsa a ya modülo m bir kuadratik kalan denir.

 

Teorem1.8.1(Çinlilerin Kalan Teoremi). ai ÎZ  , miΠ, mi>1  (i = 0,1,…,k) ve i≠j için (mi,mj) = 1 ise,

          k≥2

 

kongrüanslarının bir ortak çözümü vardır ve bu çözüm modülo m1m2…mk  tek türlü belirlidir.

 

1.9  Rasyonel Sayılar

 

Z× Z-{0} kümesi üzerinde aşağıdaki gibi tanımlanan

(a,b)(c,d) Ûad = bc

 bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. denklik bağıntısının Z× Z-{0} kümesi üzerinde belirlediği sınıflara ayrılışta her 

 

[(a,b)] =

 

sınıfı bir rasyonel sayıdır. rasyonel sayılar kümesi Q  ile gösterilir.Buna göre,

Q =

yazılır. Burada,  =  yazılabilir. Böylece   Q =  elde edilir.

 

Rasyonel sayılar kümesi üzerinde toplama ve çarpma işlemleri ve büyüklük, küçüklük bağıntıları tanımlanır. Rasyonel sayılar başlığı altında kolaylık olması için tam sayıları α,β,γ,… gibi küçük harflerle göstereceğiz. Rasyonel sayılar sayılabilir sonsuz bir küme olan rasyonel sayıların temel özellikleri aşağıdaki gibidir:

 

       11 . (α+β)+c = α (β+c)

       12 . α+β = β+ α

       13 . Her αÎQ çiftine karşılık a+δ = β olacak biçimde bir ve bir tek   δ ÎQ vardır.

       14 . Her α ÎQ için α +0= 0+ α = α olacak biçimde bir ve bir tek   0 ÎQ vardır.        

            ( 0 =   dir.)

       21 . (α β)δ= α (βδ)

       22 .  α β = β α

       23. Her αÎQ (α≠0) çiftine karşılık aδ = β olacak biçimde bir ve bir tek δ ÎQ

            vardır.

      24  . Her α ÎQ için α ε= εα = α olacak biçimde bir ve bir tek   ε ÎQ vardır.           

            (ε =   = 1 dir )

       3 .   α (β+δ) = α β+ α δ

       41 .  Her α,β ÎQ çifti için α <β , α =β , α >β den biri ve yalnız biri geçerlidir.

       42 .  α <β , β<δ Þα <δ

       51 .  α <β Þα +δ< β+δ

       52 .  α <β , δ>0 Þα δ < βδ

              α <β , δ<0 Þα δ > βδ                  

              α <β , δ=0 Þα δ = βδ

 

 

 

BÖLÜM 2

 

İKİLİ İŞLEMLER VE CEBİRSEL YAPILAR

 

2.1 İkili İşlemler

 

Tanım 2.1.1. G boş olmayan bir küme olmak üzere bir

 

* : GxG ® G

 

tasvirine G üzerinde bir ikili işlem (yada kısaca İşlem) denir ve her (a,b)ϵGxG elemanı için *((a,b)) = a*b yazılır. a*bϵG elemanına a ve b ye * işlemini uygulamak denir. Tasvir tanımı dikkate alınırsa, aşağıdaki özellikler ortaya çıkar:

 

  1. a,bϵG için bir a*bϵG vardır (ikili işlemin kapalılığı)
  2. a,bϵG için bir a*bϵG tek türlü belirlidir (İkili işlemin iyi tanımlılığı)

 

Herhangi boş olmayan bir küme üzerinde birden çok işlem tanımlanabilir.

 

 

 

 

 

2.2 İşlem Tabloları

 

Tanım 2.2.1.  S bir sonlu küme ve S={a1,a2,…,an-1,an} olsun.S kümesi üzerinde  bir * ikili işlemi tanımlı ise, S kümesi üzerindeki * işleminin sonuçları, genellikle aşağıdaki gibi bir tablo ile gösterilir ve bu tabloya ,S kümesinin * işlemine göre işlem tablosu denir.

 

 

 

*

a1

a2

 . .  .

an-1

an

a1

a1* a1

a1*a2

.  .  .

a1*an-1

a1* an

a2

a2*a1

a2*a2

.  .  .

a2* an-1

a2* an

 

.

.

.

 

 

.

.

.

 

.

.

.

 

 

.

.

.

 

.

.

.

an-1

an1*a1

an-1*a2

.  .  .

an-1* an-1

an-1*an

an

an *a1

an* a2

.  .  .

an * an-1

an * an

 

 

 

 

2.3 Cebirsel Yapılar

 

Tanım 2.3.1. Boş olmayan bir G kümesi üzerinde en az bir “*” ikili işlem tanımlanmış ise G ye “*” ikili işlemine göre bir cebirsel yapı denir ve bu durum < G, * > biçiminde gösterilir. G üzerinde tanımlı ikinci bir ikili işlem “o” ise söz konusu cebirsel yapı       <G; *, o > biçiminde gösterilir.

 

 

Tanım 2.3.2. Bir <G, * > cebirsel yapısında a,b,cϵG için a* (b* c) = (a* b) * c ise , * ikili işlemine G kümesi üzerinde bir asosyatif (birleşme özelliği olan) işlem , <G, * > cebirsel yapısına da bir asosyatif (birleşme özelliği olan) cebirsel yapı denir.

 

Tanım 2.3.3. Bir <G, * > cebirsel yapısında a,b,ϵG için a* b* c = b* a)  ise , * ikili işlemine G kümesi üzerinde bir komütatif (değişme özelliği olan) işlem , <G, * > cebirsel yapısına da bir komütatif (değişme özelliği olan) cebirsel yapı denir.

 

 

Tanım 2.3.4. <G, * > bir cebirsel yapı olsun. aϵG için a*x  = a  (ya da  y*a = a ) olacak biçimde bir xϵG (ya da yϵG) varsa bu x elemanına (ya da y elemanına ) G nin * işlemine göre (ya da <G, * > cebirsel yapısının) bir sağ birim elemanı (ya da bir sol birim elemanı denir.).Eğer bir eϵG elemanı hem sağ hem de sol birim elemanı ise, yani aϵG için a*e  =  e*a = a ise, e ye G nin * işlemine göre (ya da <G, * > cebirsel yapısının) bir  birim elemanı denir.

 

 

Teorem 2.3.1. Bir <G, * > cebirsel yapısının birim elemanı varsa tek türlü belirlidir.

 

Tanım 2.3.5. eϵG  elemanı <G, * >  cebirsel yapının  birim elemanı olsun.Bu durumda bir  aG için a′*a  =  e (a*a′′  = e) olacak biçimde bir a′G (a′′G) varsa a′ elemanına (a′′elemanına) a nın * işlemine göre bir sol (sağ) tersi ya da makusu denir.Bir bϵG, a nın hem sol hem de sağ tersi yada makusu ise,yani b*a  =  a*b = e ise b ye a nın * işlemine göre bir tersi ya da makusu denir.

 

Teorem 2.3.2. <G, * > bir asosyatif cebirsel yapı ise,G nin herhangi bir elemanının * işlemine göre en çok bir tane tersi vardır (yani bir elemanın tersi varsa tektir).

 

 

Bundan böyle  bir G kümesi üzerinde tanımlanmış bir ikili işlemi,aksi söylenmedikçe çarpma işlemi olarak alacağız,Yani a,bϵG için abϵG dir.Çarpma işlemine göre birim elemanı 1G ile göstereceğiz ve buna G nin birimi diyeceğiz.Bir a elemanının çarpma işlemine göre tersini a-1 biçiminde yazacağız.İşlem karmaşasına yer verilmemesinden emin olmamız durumunda ya da bilinen (Z tamsayılar,Q rasyonel sayılar,R reel sayılar,C  kompleks sayılar gibi) kümelerde işlem yapılıyorsa birim eleman 1  ile gösterilir

 

Eğer G kümesi üzerindeki ikili işlem bir toplama işlemi ise, a,bϵG için a+bϵG dir. Toplama işlemine göre birim elemanı 0G ile göstereceğiz ve buna G nin sıfırı diyeceğiz .Bir a elemanının çarpma işlemine göre tersi -a biçiminde yazılır ve buna a nın zıddı denir. İşlem karmaşasına yer verilmemesinden emin olmamız durumunda ya da bilinen (Z tamsayılar,Q rasyonel sayılar,R reel sayılar,C  kompleks sayılar gibi) kümelerde işlem yapılıyorsa birim eleman 0 ile gösterilir.

 

 

 

2.5 Tek İşlemli Cebirsel Yapılar

 

Tanım 2.5.1. Üzerinde bir tane ikili işlem tanımlanmış bir cebirsel yapıya tek işlemli bir cebirsel yapı denir.

 

Tanım 2.5.2. Üzerinde asosyatif bir ikili işlem tanımlanmış olan tek işlemli bir cebirsel yapıya bir yarı grup denir.Buna göre yarı grup aksiyomları aşağıdaki gibidir:

 

Yarı Grup Aksiyomları

I.   a,bG için a*bG,

II.   a,b,cG için a*(b*c) = (a*b)*c

 

 

Tanım 2.5.3. Birim elemanlı bir yarı gruba monoid denir. Buna göre monoid aksiyomları aşağıdaki gibidir:

 

Monoid Aksiyomları

I.   a,bG için a*bG,

II.   a,b,cG için a*(b*c) = (a*b)*c

III.  aG için eG ; a*e = e*a=a

 

 

Tanım 2.5.4. Her elemanıyla birlikte tersini de içeren bir monoide grup denir. Buna göre grup aksiyomları aşağıdaki gibidir:

 

Grup Aksiyomları

I.   a,bG için a*bG,

II.   a,b,cG için a*(b*c) = (a*b)*c

III.  aG için eG ; a*e = e*a=a

IV.  aG için a¢G ; a* a¢ = a¢*a = e

 

Tanım 2.5.5. Bir yarı grup, monoid ya da grup üzerinde tanımlanmış olan işlem komütatif ise bu yarı grup,monoid ya da gruba sırasıyla komütatif (değişmeli , abelyen) yarı grup, komütatif (değişmeli ,abelyen) monoid ya da komütatif (değişmeli ,abelyen) grup denir. Buna göre komütatif yarı grup, komütatif monoid ya da komütatif grup aksiyomları aşağıdaki gibidir:

 

 Komütatif Yarı Grup Aksiyomları

I.   a,bG için a*bG,                                        

II.   a,b,cG için a*(b*c) = (a*b)*c

III.  a,bG için a*b= b*a

                                       

Komütatif Monoid Aksiyomları                                        

I.   a,bG için a*bG,                                        

II.   a,b,cG için a*(b*c) = (a*b)*c

III.  a,bG için a*b= b*a                                        

IV.  aG için eG ; a*e = e*a=a                                       

 

Komütatif Grup Aksiyomları

I.   a,bG için a*bG,                                                                                 

II.   a,b,cG için a*(b*c) = (a*b)*c

III.  a,bG için a*b= b*a                                       

IV.  aG için eG ; a*e = e*a=a                                       

V.  aG için a¢G ; a* a¢ = a¢*a = e                                        

 

 

Tanım 2.5.6. G tek işlemli bir cebirsel yapı olsun. G nin boş olmayan bir G* alt kümesi, G deki ikili işleme göre kendi başına  G ile aynı türden bir cebirsel yapı oluşturuyorsa G* alt kümesine G nin bir alt cebirsel yapısı denir ve  G* ≤ G  biçiminde gösterilir. Örneğin G bir yarı grup, monoid yada grup ise  G*  a sırasıyla alt yarı grup, alt monoid,alt grup denir ve bu durum  biçiminde gösterilir.

 

Örnek 2.5.7. Z - {0} kümesi çarpma işlemine göre bir yarı gruptur ve  Z+ kümesi bu yarı grubun bir alt yarı grubudur.Buna göre  Z+ Z - {0} dır.ancak Z- kümesi çarpma işlemine  göre kapalı olmadığında bir alt yarı grup değildir.

 

Örnek 2.5.8. Toplama işlemine göre

 

ZQRC

dir. Çarpma işlemine göre

 

Q-{0}R-{0}C-{0}

yazılır.

 

 

 2.7 İki İşlemli Cebirsel Yapılar

 

Tanım 2.7.1. Üzerinde iki tane ikili işlem tanımlanmış bir cebirsel yapıya iki işlemli bir cebirsel yapı denir.

 

Tanım 2.7.2. iki işlemli bir H cebirsel yapısı,”+” işaretiyle göstereceğimiz ve toplama adını vereceğimiz birinci işleme göre bir komütatif grup,”.” İle (ya da elemanları yay yana yazarak) göstereceğimiz ve çarpma adını vereceğimiz ikinci işleme göre bir yarı grup olmanın yanında çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde iki yanlı dağılma (distribütif) özelliği varsa,yani her a,b,cH için

 

a(b+c) = ab+ac

(b+c)a = ba+ca

 

İse H ya bir halka denir. Buna göre halka aksiyomları aşağıdaki gibidir:

 

Halka Aksiyomları

 I.   a,bH için a+bH,                                     

II.   a,b,cH için a+(b+c) = (a+b)+c

III.  a,bH için a+b= b+a                                       

IV.  aH için eH ; a+e = a   (e = 0H )                                        

V.   aH için a¢H ; a+ a¢ = 0H  ( a¢= -a )                                       

VI.  a,bH için abH,                                       

VII.   a,b,cH için a(bc) = (ab)c                                      

VIII.  a,b,cH için a(b+c) = ab+ac , (b+c)a = ba+ca                                     

 

 

Tanım 2.7.3. H halkasının üzerinde tanımlı olan ikinci işleme (“.” çarpma işlemine) göre 1H gibi bir birim elemanı  varsa H ya birim elemanlı (ya da kısaca birimli) bir halka denir.

 

Tanım 2.7.4. H halkasının üzerinde tanımlı olan ikinci işleme (“.” çarpma işlemine) göre komütatif ise H ya komütatif bir halka denir. Buna göre komütatif halka aksiyomları aşağıdaki gibidir:

 

Komütatif Halka Aksiyomları

 I.   a,bH için a+bH,

II.   a,b,cH için a+(b+c) = (a+b)+c

III.  a,bH için a+b= b+a

IV.  aH için eH ; a+e = a  (e = 0H )

V.  aH için a¢H ; a+ a¢ = 0H ( a¢= -a )

VI.  a,bH için abH,

VII.   a,b,cH için a(bc) = (ab)c

VIII.  a,bH için ab=ba

 IX.  a,b,cH için a(b+c) = ab+ac

 

 

Teorem 2.7.1. H bir halka ise, her a,bÎH için aşağıdaki eşitlikler doğrudur:

(1)       a 0H = 0H a = 0H

(2)       a(-b) = (-a)b = -(ab)

(3)       (-a)(-b) = ab

 

 

Not 2.7.1. Teorem 2.7.1. (1) in tersi her halkada doğru değildir. Yani a,bÎH ve          ab = 0H ise a ve b den en az birinin 0H olması gerekmez. Örneğin, Z6 halkasında  olmasına rağmen  dir.

 

Sonuç 2.7.1. i) En az iki elemanlı ve birimli bir H halkasında 1H  ≠ 0H dır.

                 ii) En az iki elemanlı bir H halkası çarpma işlemine göre bir grup değildir.

 

 

Tanım 2.7.5.  K birimli bir halka olsun .K nın sıfırdan farklı her elemanının çarpma işlemine göre bir tersi varsa,K ya bir cisim denir. Buna göre cisim aksiyomları aşağıdaki gibidir:

 

Cisim Aksiyomları

 

I.   a,bK için a+bK,

II.   a,b,cK için a+(b+c) = (a+b)+c

III.  a,bK için a+b= b+a

IV.  aK için 0K K ; a+0K = a  

V.  aK için a¢K ; a + a¢ = 0K  ( a¢= -a dır)

VI.  a,bK için abK,

VII.   a,b,cK için a(bc) = (ab)c

VIII.  aK için 1K K ; a1K = 1K a = a

IX.   a K - {0K}  için a* K - {0K}  ; a a* = a*a = 1K   (a* = a-1)

X.  a,b,cK için a(b+c) = ab+ac , (b+c)a = ba+ca

 

Buna göre cisim tanımı aşağıdaki biçimde verilebilir:

 

K bir halka olsun. K –{0} kümesi çarpma işlemine göre bir grup ise, H bir cisimdir.

 

 

Tanım 2.7.6. Bir K cismi çarpma işlemine göre komütatif ise K ya komütatif bir cisim denir. Buna göre komütatif cisim aksiyomları aşağıdaki gibidir:

 

Komütatif Cisim Aksiyomları

 

I.   a,bK için a+bK,

II.   a,b,cK için a+(b+c) = (a+b)+c

III.  a,bK için a+b= b+a

IV.  aK için 0K K ; a+0K = a  

V.   aK için a¢K ; a+ a¢ = 0K  ( a¢= -a dır)                                        

VI.   a,bK için abK                                      

VII.   a,b,cK için a(bc) = (ab)c

VIII.  a,bK için ab = ba                                                                          

IX.   aK için 1K K ; a1K = a                                     

X.    a K - {0K}  için a* K - {0K}  ; a a* = 1K  (a* = a-1)

XI.   a,b,cK için a(b+c) = ab+ac

 

Buna göre komütatif cisim tanımı aşağıdaki biçimde verilebilir:

 

K komütatif bir halka olsun. K –{0} kümesi çarpma işlemine göre bir grup ise, H bir cisimdir.

 

Örnek 2.7.8. Q,R,C kümeleri birer komütatif cisimdir. p bir asal sayı olmak üzere Zp komütatif bir cisimdir.

 

 

Not 2.7.1. Bundan böyle,aksi söylenmedikçe  K bir  “cisim” ise K nın bir “komütatif cisim” olduğunu varsayacağız.

 

Tanım 2.7.7. H bir halka olsun. a,b ÎH için

 

a ¹ 0H , b ¹ 0H olmak üzere a.b = 0H

 

ise, a ve b elemanlarının her birine bir sıfır bölen ve a,b elemanlarına bir sıfır bölen çifti denir. H halkasında en az bir sıfır bölen çifti varsa, H ya bir sıfır bölenli halka, aksi halde bir sıfır bölensiz halka denir.

 

 

Tanım 2.7.8. Komütatif, birimli ve sıfır bölensiz bir halkaya bir tamlık bölgesi denir.

 

 

Teorem 2.7.2. Her sonlu tamlık bölgesi bir cisimdir.

 

 

Tanım 2.7.9. H iki işlemli bir cebirsel yapı olsun. H nın boş olmayan bir K alt kümesi, H deki ikili işlemlere göre kendi başına  H ile aynı türden bir cebirsel yapı oluşturuyorsa K alt kümesine H nın bir alt cebirsel yapısı denir ve  K ≤ H  biçiminde gösterilir.Örneğin H bir halka ,tamlık bölgesi yada cisim ise  K  ya sırasıyla alt yarı halka,alt tamlık bölgesi,alt cisim denir ve bu durum  biçiminde gösterilir.

 

 

 

 

2.9 Cebirsel Yapılarda Homomorfi ve İzomorfi

 

Tanım 2.9.1. K ve K¢ gibi iki cebirsel yapı ( her ikisi de tek ya da her ikisi de çift işlemli) verilmiş olsun. K yı K¢ içine resmeden ve işlemlerin sonucunu koruyan   (örneğin  K nın iki elemanının toplamını bunların resimlerinin toplamına, çarpımını bunların resimlerinin çarpımına götüren) bir j tasvirine içine bir homomorfi denir. Doğal olarak  j homomorfisi K yı K¢ içine resmeder. K nın elemanlarının j homomorfisindeki resimleri kümesi j(K) ya  K nın homomorf resmi adı verilir. Buna göre j homomorfisi K yı j(K) üzerine resmeder.

 

Bu tanıma göre j , tek işlemli  <K,o>  cebirsel yapısını,tek işlemli <K,*>  cebirsel yapısı içine resmeden bir homomorfi ise,her a,bK için

 

j : K →  K¢

         a    j(a)

         b    j(b)

                               aob    j(aob) = j(a) * j(b)

 

dır. İki işlemli cebirsel yapılarda ise, j nin , iki işlemli  <K;+,.>  cebirsel yapısını,iki işlemli <K¢;Å,Ä>  cebirsel yapısı içine resmeden bir homomorfi olması halinde, her a,bK için

j : K →  K¢

        a    j(a)

        b    j(b)

                              a+b    j(a+b) = j(a) Å j(b)

                              ab    j(ab) = j(a) Ä j(b)

dır.

 

Tanım 2.9.2. j ,bir K cebirsel yapısından bir  K¢ cebirsel yapısına bir homomorfi olsun. f üzerine bir tasvir ise, f ya, K dan  K¢ ye bir üzerine homomorfi denir. Bu durumda K¢, K nın homomorf resmidir,yani  j(K) = K¢ dür. f bir bire bir tasvir ise, f ya, K dan  K¢ ye  bir içine izomorfi , f üzerine ve bire bir bir tasvir ise, f ya, K dan  K¢ ye bir izomorfi denir. K dan  K¢ içine bir izomorfi  varsa , K halkası K¢ içine yatırılmış denir.K dan  K¢ ye bir izomorfi  varsa, K ve  K¢ halkalarına birbirine izomorf halkalar denir ve K K¢ (ya da K  K) yazılır.K halkasından kendi içine bir homomorfiye bir endomorfi (yada K nın bir endomorfisi) denir.K halkasından kendi  üzerine bir izomorfiye bir otomorfi (yada K nın bir otomorfisi) denir.

 

Not 2.9.1. K ve K¢ iki grup (halka ya da cisim v.b.) ise j : K →  K¢ homomorfisine (izomorfisine) bir grup homomorfisi (izomorfisi) (halka homomorfisi (izomorfisi) ya da cisim homomorfisi (izomorfisi)  v.b.) diyeceğiz.

 

 

 

BÖLÜM 3

 

GRUP

 

3.1 Grup Aksiyomları ve Temel Kurallar

 

Bölüm 2 de “2.5 Tek İşlemli Cebirsel Yapılar” başlığı altında verilen grup tanımı burada detaylı bir biçimde incelenecektir.

 

Tanım 3.1.1. G, üzerinde bir “*”  ikili işlemi tanımlanmış, boş olmayan bir küme bir küme olsun. Aşağıdaki iki aksiyom takımından birini sağlanması durumunda G ye “*” işlemine göre ( ya da <G, *> cebirsel yapısına ) bir grup denir.

 

1. Takım Grup Aksiyomları

I.   a,bG için a*bG,

II.   a,b,cG için a*(b*c) = (a*b)*c

III.  aG için eG ; a*e = e*a=a   (e = 1G)

IV.  aG için a¢G ; a* a¢ = a¢*a = e   (a¢ = a-1)

 

2. Takım Grup Aksiyomları

I.   a,bG için a*bG,

II.   a,b,cG için a*(b*c) = (a*b)*c

III(2).  a,bG için x,yG ; a*x = b , y*a=b

 

Teorem 3.1.1.  1. ve 2. takım grup aksiyomları birbirine denktir.

 

 

Sonuç 3.1.1. Bir <G,*> grubunda her a,bG çifti için  a*x = b , y*a=b denklemlerinin çözümü tek türlü belirlidir ve x= a-1 *b  , y= b*a-1  dir.

 

Teorem 3.1.2 (Kısaltma özelliği). a,x,x¢,y,y¢ bir <G,*> grubunun elemanları olmak üzere a*x = a*x¢ den x=x¢ ve y*a= y¢*a den y= y¢ çıkar.

 

 

Tanım 3.1.2. Sonlu sayıda elemanı bulunan bir gruba sonlu bir grup denir. Sonlu olmayan bir gruba sonsuz bir grup denir. G solu bir grup ve eleman sayısı n ise n ye G grubunun mertebesi denir ve |G| = n yazılır. Sonsuz bir grubun mertebesi de sonsuz olarak tanımlanır.

 

Komütatif bir grupta işlem “+” ise bu gruba toplamsal bir grup (ya da bir toplam grubu) denir. Bir grupta işlem “.” İse bu gruba çarpımsal bir grup (ya da bir çarpım grubu) denir. Çarpımsal grup komütatif olmayabilir. Bundan böyle aksi söylenmedikçe G grubu bir çarpım grubu olarak dikkate alınacaktır ve G  nin işlem tablosuna da G grubunun işlem tablosu adı verilecektir.

 

 

Tanım 3.1.3. G bir grup, a1,a2,…,akG  ; k≥2 olsun.Bu durumda k = 2 için a1.a2 çarpımı zaten tanımlanmıştır. k>2 için a1.a2.….ak-1 çarpımı tanımlanmış ise a1.a2.….ak çarpımı

 

a1.a2.….ak =( a1.a2.….ak-1 ) ak

 

biçiminde tanımlanır.Böylece tümevarım yöntemiyle her nN için a1.a2.….an çarpımı tanımlanmış olur. Burada kısaca, n≥2 için

 

a1.a2.….an =

yazılır.

 

Bu durumda bir grupta alınan herhangi n (n≥3) eleman için aşağıdaki genel asosyatif kuralın geçerli olduğu kolayca (tümevarım yöntemiyle) ispatlanır:

 

a1.a2.… ak.ak...an =( a1.a2.….ak-1 ) (ak.ak+1.….an)    (1≤k≤n-1)

 

Öte yandan a1.a2.….an  (n≥2) elemanları ikişer ikişer komütatif eleman ise ,bunların çarpımında genel komütatif kural olduğu da kolayca (tümevarım yöntemiyle) ispatlanır,yani 1,2,…n nin herhangi bir permütasyonu i1,i2,..,in ise

 

a1.a2.….an =

dir.Buna göre a1.a2.….an çarpımının çarpanlarını ,aşağıdaki gibi istediğimiz sırada ve sayıda paranteze alabiliriz:

 

a1.a2.….an = ()()…()

 

Tanım 3.1.4.  G bir grup, aG ,n Z olmak üzere,an (a nın n. kuvveti) aşağıdaki biçimde tanımlanır:

 

i) n>0 ise

ii) n = 0 ise an = 1G

iii) n<0 ve n =  - n¢ (n¢>0) ise 

 

Buna göre kuvvetlerin temel özellikleri aşağıdaki teoremle verilebilir:

 

Teorem 3.1.3. I. (a-1)-1 = a

                       II. (a.b)-1 = b-1 . a-1

 

  Genelleştirme.  (a1.a2.….ak)-1 = ak-1…a2-1.a1-1  (k≥2)

                      III. am.an = am+n  (m,nZ )

  Genelleştirme.   (k≥2 , m1,m2,…,mkZ)

                     IV. (am)n = am+n  (m,nZ)

                     V.  (an)-1 = (a-1)n = a-n  (nZ)

                     VI.  a.b = b.a ise her nZ için (a.b)n = an.bn dir.

 Genelleştirme.  a1.a2.….ak (k≥2) ,G nin ikişer ikişer komütatif elemanları ise her nZ                

 İçin (a1.a2.….ak)n = a1n.a2n…a1n dir.

 

 

Tanım 3.1.5.  G bir toplam grubu, aG, n Z olmak üzere, na (a nın n katı) aşağıdaki biçimde tanımlanır:

 

i) n>0 ise

ii) n = 0 ise na = 0G

iii) n =  - n¢ (n¢>0) ise 

 

Buna göre katların temel özellikleri aşağıdaki teoremle verilebilir:

 

Teorem 3.1.4. I. – (- a) = a

                       II. –(a+b) = (-a)+(-b) = (-b)+(-a)

 

Genelleştirme.  -(a1+a2.+….+ak) = (-a1)+(-a2)+…+(-ak)  = (-ak)+…+(-a2)+(-a1)  (k≥2)

                      III. ma+na = (m+n)a  (m,nZ )

 Genelleştirme.  m1a+m2.a+….+mka = (m1+m2.+….+mk)a  (k≥2 , m1,m2,…,mkZ)

                     IV. n(ma) = (nm)a  (m,nZ)

                     V.  Her a,bG  ve  her n Z için n (a+b) = na+nb bir.

 

3.3. Alt Grup

 

Tanım 2.5.6 nın tekrarı sayılabilecek olan aşağıdaki tanımı vereceğiz:

 

Tanım 3.3.1. G bir grup ve H , G nin boş olmayan bir alt grubu olsun . Eğer H , G deki ikili işleme göre kendi başına bir grup ise H ya , G nin bir alt grubu denir ve HG  (ya da sadece gruplarla işlem yapılıyorsa kısaca H≤G) yazılır.

 

Teorem 3.3.1. Bir G grubunun, boş olmayan bir H alt kümesinin G nin bir alt grubu olması için gerek ve yeter koşul

i) Her a,bH için abH,

ii) Her aH için a-1H olmasıdır.

 

 

Sonuç 3.3.1. 1G1G =1G ve = 1G olduğundan Teorem 3.3.1. e göre {1G } , g nin bir alt grubudur.

 

Tanım 3.3.2. G ve {1G } ye G nin triviyal alt grupları denir. G nin triviyal olmayan bir alt grubuna bir has alt grubu denir ve H,G nin triviyal olmayan bir alt grubu ise HG  (ya da kısaca H<G) yazılır.

 

Teorem 3.3.1 de verilen koşullar birleştirilerek, alt grup olma koşulu aşağıdaki gibi verilebilir.

 

Teorem 3.3.2. Bir G grubunun,boş olmayan bir alt kümesinin G nin bir H alt grubu olması için gerek ve yeter koşul, her a,bH için ab-1H  (ya da a-1bH) olmasıdır.

 

 

Bu teorem bir toplam grubu için aşağıdaki gibi ifade edilir.

 

Sonuç 3.3.2. G bir toplam grubu ise, G grubunun, boş olmayan bir H alt kümesinin G nin bir alt grubu olması için gerek ve yeter koşul her a,bH için a-bH olmasıdır.

 

H alt kümesinin sonlu bir küme olması durumunda alt grup olma koşulu çok daha basit hale gelir:

 

Teorem 3.3.3. Bir G grubunun, boş olmayan sonlu bir H alt kümesinin G nin bir alt grubu olması için gerek ve yeter koşul,H nın G deki işleme göre kapalı olması,yani her a,bH için abH  (ya da a+bH ) olmasıdır.

 

 

 

 

3.5 Devresel Grup

 

Teorem 3.5.1. Bir grubun sonlu ya da sonsuz sayıda bir takım alt gruplarının arakesiti de G nin bir alt grubudur.

 

 

Teorem 3.5.2. <M> alt grubu G nin M yi kapsayan en küçük alt grubudur.

 

                        

Not 3.5.1.Teorem 3.5.2 ye göre, <M> alt grubu,G nin M alt kümesini kapsayan en küçük alt grubu olarak da tanımlanabilir .

 

Tanım 3.5.2. Bir G grubunun a1,a2,…,ak gibi sonlu sayıda elemanı ile oluşturulan , (m1,m2,…,mk Z)  biçimindeki bir çarpıma a1,a2,…,ak elemanlarının bir kuvvet çarpanı denir.

 

Teorem 3.5.3. G nin <M> alt grubu ,M nin elemanlarının bütün kuvvet çarpımlarından oluşan kümeye eşittir.

 

 

Tanım 3.5.3. Bir tek eleman tarafından doğurulan bir gruba devresel grup denir. Buna göre, bir a elemanı tarafından doğurulan G devresel grubu,

 

G =<a>=  {…,a-n,…,a-1,a0=1G,a,…,an,…}= {an |nZ}

 

biçimindedir.G bir toplam grubu olarak alınırsa a nın doğurduğu devresel grup       <a>= {na |nZ} biçimindedir.

 

Not 3.5.2. Bir grupta kuvvetlerin temel özelliklerine ve Z de toplama işleminin komütatifliğine göre anam= an+m=am+n= aman olduğundan, devresel gruplar komütatiftir. Bir G = <a> devresel grubu için iki hal söz konusudur.

 

1) a nın bütün kuvvetleri birbirinden farklıdır. Bu durumda, G sonsuz bir devresel gruptur.

2) a nın bazı kuvvetleri aynıdır. Eğer r> s tam sayıları için ar = as ise kısaltma özelliğinden ar -s= 1G elde edilir. Bu durumda ,en küçük eleman prensibine göre ,      at= 1G koşuluna uyan t doğal sayılarının bir en küçüğü vardır.Bu doğal sayıyı τ ile gösterelim.Bu durumda , {1G,a,a2,…,a τ-1 } kümesinin elemanları birbirinden farklıdır ve  {1G,a,a2,…,a τ-1 } Ì<a> dır. Öte yandan, her an<a> için ,n, τ çiftine ait bölme algoritmesi

 

n = τq+r , 0≤r≤ τ-1

 

biçiminde ise,

an = aτq+r =(aτ ) q  ar = (1G)q ar = ar , 0≤r≤ τ-1

 

elde edilir. Yani <a> Ì{1G,a,a2,…,a τ-1 } dir.Buna göre <a> = {1G,a,a2,…,a τ-1 } olmak zorundadır.

 

 

Tanım 3.5.4. G sonlu bir grup ve aG ise, a nın G içinde doğurduğu devresel grubun mertebesine, başka bir değişle at= 1G koşuluna uyan t doğal sayılarının bir en küçüğüne a elemanının (G grubundaki) mertebesi denir ve |a| (ya da |aG| ) biçiminde gösterilir.

 

 

Teorem 3.5.4.  Bir G = {1G,a,a2,…,a τ-1 }  devresel grubunda aşağıdaki özellikler geçerlidir:

 i) sZ olmak üzere   as = 1G Û τ|s  dir.

ii) m,n Z olmak üzere  am = an Û m ≡ n (τ)  dur.

 

 

Teorem 3.5.5. Bir devresel grubu her alt grubu da devreseldir.

 

 

Teorem 3.5.6. i) Bir sonsuz devresel grubun {1G}  den farklı her alt grubu da bir sonsuz devresel gruptur.

                        ii) G = <a> , s. mertebeden bir devresel grup ve  H = <aτ>  (τ>0) ,G nin bir alt grubu ise uygun bir  qN için s = τq ve |H| = q  ve  |H| | |G| dur.

 

 

Teorem 3.5.7. G = <a> , s. mertebeden bir devresel grup ise, s nin her q bölenine karşılık G nin q. mertebeden bir ve yalnız bir tane alt grubu vardır.

 

Teorem 3.5.8. G = <a> , s. mertebeden bir devresel grup ise bir am elemanının,G nin bir doğurayı olabilmesi için gerek ve yeter koşul (s,m) = 1 olmasıdır.

 

Sonuç 3.5.1. G = <a> , s. mertebeden bir devresel grup ise G nin doğurayları sayısı   φ (s) dir.

 

 

Teorem 3.5.8. G = <a> bir sonsuz devresel grup ise doğurayları a ve a-1 dir.

 

 

3.7 Simetrik Grup

 

Tanım 3.7.1.  Bir M kümesini kendi üzerine birebir olarak resmeden bir tasvire M nin bir transformasyonu denir. M kümesinin sonlu olması durumunda, transformasyon yerine, m nin bir sübstitüsyonu ya da permütasyonu ifadesi kullanılır. M kümesini kendi üzerine birebir olarak resmeden İdantik tasvire (I ile gösterilir) idantik permütasyon denir.

 

M nin bütün transformasyonlarından oluşan kümenin, tasvirlerin çarpım işlemine göre bir grup oluşturduğu kolayca gösterilebilir. Buna göre aşağıdaki tanım verilir:

 

Tanım 3.7.2. n elemanlı bir kümenin bütün sübstitüsyonlarının (permütasyonlarının) oluşturduğu gruba n. dereceden simetrik grup (n. dereceden permütasyon grubu) denir ve Sn ile gösterilir.

 

Sn , {x1,x2,…,xn} kümesinin simetrik grubu ve SSn olsun.Burada i1,i2,…,in ; 1,2,…,n  nin bir değişik sıradaki sıralanışı olmak üzere, S(xk) =  (k = 1,2,…,n ) ise, S permütasyonu,her xk  (k = 1,2,…,n ) elemanının altına görüntüsü yazılmak suretiyle

 

S =  =

 

biçiminde ya da fonksiyonel olarak

 

S =  =

 

biçiminde gösterilir. Buna göre, I =  dir.

 

S =  ,    T=

 

permütasyonlarının çarpımı

 

ST =

dir. S in tersi ise,

 

S-1 =

 

dir.Öte yandan n>2 için Sn komütatif değildir. Örneğin S3 te

 

 

S =   , T =

 

için

 

ST=  , TS = 

 

olduğundan ST ≠ TS dir.

 

Not 3.7.1. Sn grubunun her elemanı ,{1,2,…,n} kümesini kendi üzerine (1-1) olarak resmeden bir tasvir olarak dikkate alındığına göre, SSn ise S(1) ,n tane elemandan biri olabilir. S(1) seçilmiş olduğuna göre S(2), S(1) dışında kalan n-1 elemandan biri olabilir. S(1) ve S(2) seçilmiş olduğuna göre S(3) ,S(1)  ve S(2) dışında kalan n-2 elemandan biri olabilir. Bu biçimde devam edilirse Sn nin

 

n(n-1)(n-2)…1=n!

 

elemanı olduğu görülür, yani | Sn | = n!  dir.

 

 

Tanım 3.7.2. j1,j2,…,jk (k>1) birbirinden farklı doğal sayılar olmak üzere bir SSn için,

 

S(j1) = j2 , S(j2) = j3 ,…, S(jk-1) = jk ,S(jk) = j1

 

ise, S = (j1j2…jk) yazılır ve buna k uzunluğunda bir devre denir. Her jt (t = 1,2,…) için S(jt) = jt ise S , 1 uzunluğunda bir devredir.1 uzunluğundaki devreler genellikle göz ardı edilirler.Bir devre ,saat yönünde yönlendirilerek çember üzerine dizilmiş semboller olarak düşünülebileceğinden,yani

 

j2,j3,…,jk ,j1  ; j3,j4,…,jk,j1 ,j2  ; … ;  jk,j1,…,jk-2 ,jk-1

 

j1,j2,…,jk  nın dairesel permütasyonları olduğundan, 

 

S = (j1j2…jk) =( j2j3…jk j1  )=( j3j4…jkj1j2  )=…=( jkj1…jk-2jk-1)

 

yazabiliriz.

 

 

Tanım 3.7.3. Hiçbir ortak rakamları bulunmayan devrelere yabancı devreler denir.

 

Teorem 3.7.1. Yabancı devreler çarpma işlemine göre komütatiftir.

 

Teorem 3.7.2. SSn, r uzunluğunda bir devre; S =(i1i2…ir)   ise |S| = r dir.

 

İspat. Devre tanımına göre 1≤t<r  için S (it) = it+1 ve S(jr) = j1 olduğundan 1≤k,j≤r için

 

k+j≤r ise Sk(ij) = ik+j

k+j>r ise Sk(ij) = ik+j-r

 

dir. Buna göre Sr (it) =it  ; t{ i1,i2,…,ir ,ir+1,…,in } ,yani Sr = I dır ve 1≤t<r  için Sr ≠ I dır. Mertebe tanımına göre |S| = r dir.

 

Teorem 3.7.3. Her permütasyon, bir takım yabancı devrelerin çarpımı olarak yazılabilir ve bu yazılış sıra göz ardı edildiğinde tek türlü belirlidir.

 

 

Not 3.7.2. Sn de idantik permütasyonun yabancı devrelerin çarpımı olarak yazılışı (ya da yabancı devrelere ayrılışı) I = (1)(2)…(n) biçimindedir.

 

 

Teorem 3.7.4. Bir SSn permütasyonunun mertebesi, ayrıldığı yabancı devrelerin uzunluklarının ekok dır.

 

 

 

Tanım 3.7.4. Uzunluğu 2 olan, yani (i j) biçimindeki bir devreye bir transpozisyon denir.

 

Teorem 3.7.5. Her permütasyon birtakım transpozisyonların çarpımı olarak yazılabilir.

 

 

Not 3 7 3. Bir permütasyonun birtakım transpozisyonların çarpımı olarak gösterilişi tek türlü değildir. Çünkü (ij)2 = I olduğundan çarpımın herhangi bir yerine keyfi bir transpozisyonun karesi yazılabilir. Örneğin S = (12487)(536) permütasyonunun bir transpozisyonların çarpımı olarak yazılışı S = (17)(18)(14)(12)(56)(53) ikinci bir yazılışı S = (17)(18)(13)(13)(14)(12)(56)(53) biçimindedir

 

Tanım 3.7.5. Tek (çift) sayıda transpozisyonun çarpımı olarak yazılan bir permütasyona tek (çift) permütasyon denir.

 

Not 3 7 4. Teorem 3.7.5 in ispatına göre, uzunluğu tek (çift) olan bir devre, bir çift (tek) permütasyondur. Öte yandan, iki tek ve iki çift sayının toplamı çift, bir tek sayı ile bir çift sayının toplamı tek olduğundan, iki tek veya iki çift permütasyonun çarpımı bir çift permütasyon, bir tek bir tek sayı ile bir çift sayının ile bir çift permütasyonun çarpımı bir tek permütasyondur.

 

Teorem 3.7.5. Sn deki tek ve çift permütasyonlar aynı sayıdadır.

 

 

Tanım 3.7.5. Sn deki bütün çift permütasyonlarının kümesini An ile gösterirsek, Sn bir sonlu grup olduğundan Not 3. 7. 4 e göre, An< Sn ve Teorem 3.7.5 e göre de

 

| An | =

 

dir. Sn in An alt grubuna n. dereceden alterne grup denir.

 

 

Teorem 3.7.6. Sn de uzunluğu 3 olan bütün devreler tarafından doğurulan alt grup An ile çakışır. Yani, An bütün üçlü devrelerin oluşturduğu küme tarafından doğurulur.

 

 

Teorem 3.7.7. Sn grubu (1j)  ; j = 2,3,…,n biçimindeki transpozisyonlar tarafından doğurulur.

 

 

Teorem 3.7.8. n≥3 olmak üzere An grubu (12j)  ( j = 3,4,…,n)  devreleri tarafından doğurulur.

 

 

 

3.9 İndeks

 

Tanım 3.9.1. G bir grup ve  H≤G olsun. a,bG olmak üzere ,G de ≡ bağıntısı

 

a≡b (H) Û ab-1H  ( ya da a≡b (H) Û a-1bH )

 

biçiminde tanımlanır.

 

Teorem 3.9.1. Yukarıdaki biçimde tanımlanan “ ≡ ” bağıntısı bir denklik bağıntısıdır.

 

 

Tanım 3.9.2. Yukarıdaki denklik bağıntısına göre aG elemanının temsilcisi olduğu deklik sınıfı

Ha = {bG | b≡a (H) Û ba-1H Û bHa}

(ya da aH = {bG | b≡a (H) Û a-1bH Û baH})

 

biçimindedir. Burada a nın ait olduğu (a nın temsilcisi olduğu) ,Ha denklik sınıfına G nin H alt grubuna göre bir sol kalan sınıfı ve Ha denklik sınıfına G nin H alt grubuna göre bir sağ kalan sınıfı denir.

 

Not 3.9.1. H = 1G H = H1G olduğundan, H alt grubunun kendisi, G nin H ya göre hem bir sol, hem de bir sağ kalan sınıfıdır. Öte yandan a,bG olmak üzere G nin aH,bH (Ha,Hb) alt kümeleri ,bir sınıflara ayrılışın iki sol (sağ) kalan sınıfı olduklarından, ya   aH = bH  (Ha = Hb) ya da aH∩bH =  (Ha∩Hb =)  tur.

 

Teorem 3.9.2.  a,bG olmak üzere aH, bH (Ha, Hb) gibi iki sol (sağ) kalan sınıfı, aynı kuvvettedir.

 

 

Teorem 3.9.3 (Lagrange Teoremi).  Sonlu bir grubun her alt grubunun mertebesi grubun mertebesini böler.

 

Sonuç 3.9.1. Sonlu bir G grubunun bir H alt grubuna göre birbirinden farklı sol kalan sınıflarının sayısı, birbirinden farklı sağ kalan sınıflarının sayısına eşittir.

 

Tanım 3.9.3. bir G grubunun bir H alt grubuna göre birbirinden farklı kalan sınıflarının sayısına H nın G içindeki indeksi denir ve bu indeks [G:H] ile gösterilir. Buna göre, |G|= |H| [G:H] yazılır.

 

 

Sonuç 3.9.2. Sonlu bir G grubunda, her aG için |a|||G| ve a|G| = 1G dir.

 

Sonuç 3.9.3. Mertebesi asal olan grup devreseldir.

 

 

Sonuç 3.9.4 (Fermat-Euler Teoremi). mϵN,m>1, aϵZ ve (a,m) = 1 ise

 

aφ(m) ≡1 (m)

dir.

 

 

Sonuç 3.9.5 (Küçük Fermat Teoremi). p bir asal sayı ise p a koşuluna uyan her aϵZ için ap-1 ≡1 (p) dir.

 

 

3.11 Normal Alt Grup

 

Tanım 3.11.1. G grubunun herhangi a,x elemanları için axa-1G (ya da a-1xaG) elemanına x in a ile dönüşmüşü (a nın eşleniği ya da konjügesi ) denir.b= axa-1 ise a ile b eşleniktir denir.

 

Tanım 3.11.2. G bir grup, N≤G, aG  ise aNa-1≤G dir ;  aNa-1 (ya da a-1Na) alt grubuna N nin a ile dönüşmüşü (N nin eşleniği ya da konjügesi ) adı verilir.           M = aNa-1 ise N ile M eşleniktir denir.

 

Aşağıdaki sonuç kolayca ispat edilir:

 

Sonuç 3.11.1. G grubu üzerinde aşağıdaki biçimde tanımlanan ~ bağıntısı bir denklik bağıntısıdır:

Her g,fG için g~fÛ aG ; f= aga-1

 

Tanım 3.11.3. Sonuç 3.11.1 de verilen  ~ bağıntısının G üzerinde belirlediği sınıflara G nin eşlenik eleman sınıfları denir. 

 

Herhangi bir gG elemanının ait olduğu eşlenik eleman sınıfı 

 

[g]={ aga-1 aG }

 

dır.G komütatif ise doğal olarak [g]={g} dir.

 

Tanım 3.11.4. Sonlu bir G grubunun birbirinden farklı eşlenik eleman sınıfları [g1],[g2],…,[gr] ve bunların eleman sayıları sırasıyla t1,t2,…,tr ise

 

G =   ve   |G| =

 

yazılır. Buradaki birinci eşitlik G nin bir sınıflara ayrılışıdır ve ikinci eşitliğe G nin sınıf denklemi denir.

 

Teorem 3.11.1. G bir grup ve N ,G nin bir alt grubu ise aşağıdaki ifadeler birbirine denktir.

i) Her aG, her xN için axa-1N dir.

ii) Her aG için aNa-1ÌN dir.

iii) Her aG için aNa-1=N dir.

iv) Her aG için aN=Na dır.

 

 

Tanım 3.11.5. G bir grup, N de G nin bir alt grubu olsun. Eğer her aG için aN=Na ise N ye G nin bir normal alt grubu denir ve N(G (N≠G ise N<G) yazılır.

 

Not 3.11.1. G nin bir normal alt grubu Teorem 3.11.1 de verilen iii) koşulunu gerçekleyen bir normal alt gruptur. Buna göre G nin bir normal alt grubu Teorem 3.11.1 de verilen birbirine denk koşullardan birini gerçekleyen bir alt grup olarak tanımlanabilir. ıv) koşulunu gerçekleyen N alt grubuna, G nin bir invaryant alt grubu denir. Buna göre “invaryant alt grup” ve ”normal alt grup kavramları” birbiriyle çakışır.

 

Burada aN=Na olması her xN için ax=xa olmasını gerektirmez. Ancak, her xN elemanına karşılık ax=ya olacak biçimde bir yN vardır.

 

N(G olması halinde, G grubunun N alt grubuna göre sağ ve sol kalan sınıfları aynıdır.

 

 

Teorem 3.11.2. Bir grubun indeksi iki olan alt grubu bir normal alt gruptur.

 

Sonuç 3.11.2. An<Sn dir.

 

Not 3.11.2. G bir grup ve K<H<G olsun. K<G ise K<H dır, çünkü her aG için aK=Ka ise, HÌG olduğundan aynı zamanda her aH için aK=Ka dır.Fakat K<H ise K<G olması gerekmez.Örneğin

 

G = D8 = {I, (13),(24),(13)(24), (14)(23), (12)(34),(1234),(1432)}

 

alınması durumunda H = {I,(13),(24),(13)(24)} ve K = {I,(13)} için K<H<G ;[H:K]=2 dir. Buna göre K<H olmasına rağmen K*G dir, çünkü (12)(34)K≠K(12)(34) dür.

 

Teorem 3.11.3. S,TSn ;S=, T=; i=1,2,…,n için TST-1= dir.

 

 

Sonuç 3.11.3. i) D,TSn ;D = (d1d2…dr) ise

 

TDT-1= T(d1d2…dr)T-1= (T(d1) T(d2)…T(dr))

 

dir.

                         ii) S,TSn ; S nin yabancı devrelere ayrılışı S = D1D2…Dk biçiminde ise TST-1=( TD1T-1)( TD2T-1)…( TDkT-1) dır.

 

 

Teorem 3.11.4. Sn de  D1 , D2 gibi iki devrenin eşlenik olması için gerek ve yeter koşul bu devrelerin aynı uzunlukta olmalarıdır.

 

 

Tanım 3.11.5. S,T gibi iki permütasyon, aynı sayıda ve her biri aynı uzunlukta yabancı devrelerin çarpımı biçiminde yazılabiliyorsa, S ile T aynı tiptedir denir

 

 

Sonuç 3.11.4. İki permütasyonun eşlenik olması için gerek ve yeter koşul aynı tipte olmalarıdır.

 

Sonuç 3.11.5. H(Sn olması için gerek ve yeter koşul, H nın her S permütasyonuyla birlikte, Sn nin S ile aynı tipte olan bütün permütasyonlarını içermesidir.

Tanım 3.11.6.  nN osun.n1≤n2≤… ≤nk  ve n= n1+n2+… +nk  koşullarını gerçekleyen n1,n2,… ,nk doğal sayılar dizisine n nin bir parçalanışı denir. n nin bütün parçalanışlarının sayısı p(n) ile gösterilir.

 

Örnek 3.11.9. 1=1 olduğundan p(1)=1 dir.

                        3=3,3=2+1,3=1+1+1 olduğundan p(3)=3 dür.

                        4=4,4=3+1,4=2+2,4=2+1+1,4=1+1+1+1 olduğundan p(4)=5 dir.

 

Teorem 3.11.5. Sn de eşlenik eleman sınıflarının sayısı p(n) dir.

 

 

Sonuç 3.11.6. Lagrange teoreminin karşıtı doğru değildir, yani sonlu bir grubun mertebesinin her bölenine karşılık, o böleni mertebe olarak kabul eden bir alt grup olmayabilir.

 

 

 

3.13 Bölüm Grubu

 

Teorem 3.13.1. N(G olsun, G nin N ye göre sol (ya da sağ) kalan sınıflarından oluşan küme G/N ile gösterelim ve G/N = {aN | aG} kümesi üzerinde çarpma işlemini her  aN, bN G/N için (aN)(bN) = abN biçiminde tanımlayalım. Bu durumda aşağıdaki iddialar doğrudur.

i) Bu çarpım, kalan sınıfların temsilcileri a,b elemanlarından bağımsızdır.

ii) G/N kümesi bu çarpma işlemine göre bir gruptur.

iii) G bir sonlu grup ise, |G/N|=  dir.

 

 

Tanım 3.13.1. G/N grubuna, G grubunun N normal alt grubuna göre bölüm grubu denir.

 

Not 3.13.1. Komütatif bir grubun her alt grubu bir normal alt grup olacağından, komütatif bir grubun her alt grubuna göre bölüm grubu oluşturulabilir üstelik bu bölüm grubu da komütatiftir. Öte yandan G bir toplam grubu ise, G komütatiftir ve herhangi bir N alt grubuna göre G/N = {a+N| aG}  ve her a+N,b+NG/N için , 

 

(a+N)+(b+N) = (a+b)+N

dir.

 

 

Teorem 3.13.2. Bir devresel grubun her bölüm grubu da devreseldir.

 

 

Not 3.13.2. G bir devresel grup ve |G| = n ise n in her k bölenine karşılık, G, nin k. mertebeden bir tek bölüm grubu vardır. Çünkü n = kq ise G nin q mertebeden bir tek H alt grubu vardır ve G nin H alt grubuna göre bölüm grubunun mertebesi k olmak zorundadır. Buna göre sonlu devresel gruplar için Lagrange teoreminin karşıtı doğrudur.

 

Teorem 3.13.3. G bir grup, N(G ve N≤K≤G  ise N(K ve K/N≤G/N dir. Ayrıca  N≤K(G  ise K/N(G/N dir. Tersine G/N nin alt grupları N≤K≤G olmak üzere K/N biçiminde ve normal alt grupları N≤K(G olmak üzere K/N biçimindedir.

 

 

Tanım 3.13.2. Triviyal normal alt gruplarından başka normal alt grubu bulunmayan bir gruba basit grup denir.

 

 

Teorem 3.13.4. n>4 için Sn grubu basittir.

 

 

Tanım 3.13.3. G bir grup M, G nin, G den farklı bir normal alt grubu olsun .G nin M yi bir has alt küme olarak kabul eden ve G den farklı hiçbir normal alt grubu yoksa, M ye G nin bir maksimal normal alt grubu denir.Bu tanım aşağıdaki biçimde de ifade edilebilir:

M<G; M ¹ G bir maksimal normal alt grup

Û "N normal alt grup; M<N<G için N=G

 

Teorem 3.13.5.  M nin G grubunun bir maksimal normal alt grubu olması için gerek ve yeter koşul G/M nin basit olmasıdır.

 

 

3.15 Gruplarda Homomorfi

 

Teorem 3.15.1. A ve B, tek işlemli iki cebirsel yapı ve φ: A→B bir homomorfi olsun. φ nin üzerine olması halinde, A bir grup ise B de bir gruptur.

 

 

Not 3.15.1. φ homomorfisi üzerine olmasa da, her aA için φ(a-1) = φ(a)-1 dir.

 

Sonuç 3.15.1. A,B iki grup ve φ: A→B bir homomorfi olsun. H≤A ise φ(H)≤B dir.

 

Teorem 3.15.2. Bir devresel grubun her homomorf resmi de bir devresel gruptur.

 

 

Teorem 3.15.3. Sonlu bir devresel grubun her homomorf resmi de sonlu bir devresel gruptur.

 

 

Teorem 3.15.4.  i) Sonsuz bir devresel grubun her izomorf resmi de sonsuz bir devresel gruptur.

                             ii) n. mertebeden bir devresel grubun her izomorf resmi de n. mertebeden bir devresel gruptur.

 

Not 3.15.1. Sonsuz bir devresel grubun her homomorf resminin de sonsuz bir devresel grup olması gerekmez. Örneğin, Z = <1> sonsuz devresel toplam grubu ve {0} toplam grubu için φ:Z→{0} ; φ(t) = 0 tasviri bir üzerine homorfidir.

 

Teorem 3.15.4 (Cayley Teoremi). Her grup uygun bir transformasyon grubuna izomorftur.

 

 

Sonuç 3.15.2. G sonlu bir grup ve G = {a1,a2,…,an} ise T = { φa | aG } bir permütasyon grubudur ve her aG için

 

φa=

biçimindedir.

 

 

Teorem 3.15.5. G bir grup ve aG belirli bir elemanı olmak üzere,

 

Ya:G→G; Ya(g)=aga-1

 

tasviri bir otomorfidir.

 

 

Tanım 3.15.1.  Ya:G→G; Ya(g)=aga-1 otomorfisine G nin bir iç otomorfisi denir.

 

Teorem 3.15.6. Bir G grubunun bütün iç otomorfileri kümesi tasvir çarpımına göre bir gruptur.

 

 

Not 3.15.1. G grubu komütatif ise her aG ve her gG için aga-1=g olacağından G nin tek iç otomorfisi IG idantik otomorfi ve İ(G) ={ IG } dir.

 

 

3.17 Çekirdek

 

Teorem 3.17.1. A , B iki grup ve φ: A→B bir homomorfi ise aşağıdaki iddialar doğrudur:

  1. 1B nün φ deki tam orijinaller kümesi, A nin N gibi bir normal alt grubudur (NA).
  2. B nin herhangi bir a’ elemanının φ deki tam orijinaller kümesi boş değilse, N nin A içindeki uygun bir kalan sınıfıdır.
  3. φ üzerine ise, A/N bölüm grubu B grubuna izomorftur (A/NB).

 

Tanım 3.17.1. Yukarıdaki teoremde 1. İddiada verilen N normal alt grubuna φ homomorfisinin çekirdeği denir ve Ker𝛗 ile gösterilir. Buna göre φ: A→B bir grup homomorfisi ise

 

Ker φ = {aÎA ; f(a) = 1G¢ }

 

yazılır.

 

Sonuç 3.17.1. φ: A→B grup homomorfisinin bir izomorfi olabilmesi için gerek ve yeter koşul Ker φ ={1A} olmasıdır

 

 

Teorem 3.17.2. G bir grup ve NG ise μ: a®aN tasviri G nin G/N üzerine bir homomorfisidir ve N<H<G ise μ (H)= H/N< G/N olduğu gibi <G/N ise                   H={ g| gN } için H<G dir.

 

 

Tanım 3.17.3. Μ homomorfisine G nin N normal alt grubuna göre doğal (kanonik) homomorfisi denir.

 

Sonuç 3.17.2. Bir G grubunun her homomorfisi, G nin bir normal alt grubunu ve tersine, G nin her normal alt grubu da G nin bir homomorfisini verir.

 

Sonuç 3.17.3. φ: A→B bir grup homomorfisi ve Kerφ=N için μ ,N ye göre A nin doğal homomorfisi ise, yukarıda verilen; A/N bölüm grubunu B içine resmeden                     Y : aN ®φ(a) tasviri için φ = Y μ eşitliği vardır.

 

 

Teorem 3.17.3 (Birinci İzomorfi Teoremi). φ ,A grubunun B grubu içine bir homomorfisi ise, Kerφ,A nın bir normal alt grubudur ve Y : aN ®φ(a) tasviri A/Kerφ bölüm grubunun B nin φ(A) alt grubuna bir izomorfisidir.

 

Teorem 3.17.4 (İkinci İzomorfi Teoremi). G bir grup, NG ve H≤G ise, H∩NH,HN≤G ve H/H∩NHN/N dir.

 

 

 

3.19 Normalizatör, Merkez, Komütatör

 

Teorem 3.19.1. G grubunun herhangi bir g elemanıyla komütatif olan bütün elemanlarının kümesi G nin bir alt grubudur.

 

İspat. gG için göz önüne alınan kümeyi NG(g) ile gösterirsek

 

NG(g) = { aG ag=ga}≤G

 

olduğunu ispat edeceğiz.1GNG(g)  olduğundan NG(g) ≠ tur. Öte yandan  a,b NG(g)  için ag=ga ve bg=gb olduğundan asosyatif özellik kullanılırsa

 

    (ab)g=a(bg)=a(gb)=(ag)b=(ga)b=g(ab) Þ ab NG(g)

                                             

ve  aNg için

 

ag=gaÞa-1(ag)a-1=a-1(ga)a-1Þ(a-1 a)(ga-1)=(a-1 g)(a a-1) Þ g a-1= a-1g Þ a-1 NG(g)

       

olduğundan NG(g) ≤ G dir.

 

Tanım 3.19.1. Yukarıdaki teoremde verilen NG(g)   alt grubuna g elemanının G içindeki normalizatörü denir.

 

Teorem 3.19.2. G grubunun bir g elemanının G içindeki birbirinden farklı eşleniklerinin sayısı g nin normalizatörü NG(g)  nin G içindeki indeksine eşittir.

 

 

Not 3.19.1. Bu teorem dikkate alındığında bir gG elemanının ait olduğu [g] eşlenik eleman sınıfının eleman sayısının [G: NG(g)] olduğunu söyleyebiliriz. Buna göre sonlu bir G grubunun sınıf denklemi

yazılır.

 

Tanım 3.19.3. G grubunun herhangi bir boş olmayan T alt kümesi ile komütatif olan bütün elemanlarının kümesini NG(T) ile gösterelim. NG(T)  = { aG aT  = Ta}  ye T nin G içindeki normalizatörü denir.

 

Not 3.19.2. Yukarıda verilen bilgiler ışığında kolayca görüleceği gibi NG(T) ≤ G ve  TNG(T) dir. Öte yandan T alt kümesinin G içindeki birbirinden farklı eşleniklerinin sayısı T nin normalizatörü NG(T)  nin G içindeki indeksine eşittir.

 

Teorem 3.19.3. G bir grup, T≤ G ve K≤ NG(T)  ise KT ≤ G ve TKT dir.

 

 

Teorem 3.19.4. G bir grup , T≤ G ise NG(T), G nin T yi normal alt grup olarak kabul eden en büyük alt grubudur.

 

 

 

Teorem 3.19.5 (Üçüncü İzomorfi Teoremi). G bir grup, TG ve G/N bölüm grubunun K/T gibi bir normal alt grubu olduğunu varsayalım. Bu durumda KG ve G/K(G/T)/(K/T)  dir.

 

 

Tanım 3.19.4. G grubunun bütün elemanlarıyla komütatif olan elemanlarından oluşan alt kümeye G grubunun merkezi denir ve MG ile gösterilir. Buna göre

 

MG={ gG ag=ga (aG)}

 

yazılır.

 

Teorem 3.19.6.   MG = dır ve MGG olduğu gibi MG nin her normal alt gurubu G de de normaldir.

 

 

Not 3.19.3. Yukarıda değinildiği gibi sonlu bir G grubunun sınıflara ayrılışını ve sınıf denklemini göz önüne alalım:

 

G =  ve

 

Burada giMG ise NG(gi)=G olacağından  [gi]={gi} ve [G: NG(gi)] =1 dir . Dolayısıyla G

nin sınıf denkleminde │MG  tane tek elemanlı sınıf vardır. Yani

 

ve

yazabiliriz.

 

 

Tanım 3.19.5. G bir grup ve a,bG ise aba-1b-1g elemanına a ve b nin komütatörü (G nin bir komütatörü) denir ve aba-1b-1 = [a,b] yazılır. G nin bütün komütatörlerinin doğurduğu alt gruba G nin komütatör grubu denir ve G¢ ile gösterilir.

 

G nin G¢ alt grubu g nin bütün komütatörlerinden ve bunların çarpımlarından oluşan alt gruptur,yani  G¢ = {x1x2…xr | xi = [ai,bi] , ai,biG , (i = 1,2,…,r) } dir.

 

Teorem 3.19.7. i) G nin komütatif bir grup olması için gerek ve yeter koşul G¢ = {1G} olmasıdır.

                         ii) G¢(G ve G/G¢  komütatiftir.

                       iii) N(G ve G/N komütatif ise G¢ÌN dir, yani G¢ , bölüm grubu komütatif olan N normal alt gruplarının en küçüğüdür.

 

 

 

3.21 p-Grup, Sylow Teoremleri

 

Lagrange teoremine göre sonlu bir gurubun her alt grubunun mertebesinin grubun mertebesini böldüğünün biliyoruz. Burada akla şu soru geliyor:

 

G mertebesi k olan bir sonlu grup olmak üzere k nın herhangi bir t bölenine karşılık,

G nin mertebesi t olan bir alt grubu var mıdır?

 

Bu sorunun yanıtı genel olarak olumsuzdur. Çünkü bilindiği gibi 4 üncü dereceden simetrik grup S4 ün normal alt gurubu olan 4 üncü dereceden alterne grup A4 mertebesi 12 olan bir gruptur ve A4 ün mertebesi 6 olan alt gurubu yoktur. Ancak p bir asal sayı olmak üzere pm (m≥1) G nin mertebesini bölüyorsa, G nin mertebesi pm olan bir alt gurubunun var olduğu Norveçli matematik Sylow (Peter Ludwig Mejdell Sylow (1832-1918)) tarafından 1872 yılında ispat edilmiştir.

 

Tanımlar 3.21.1. G bir sonlu grup ve p bir asal sayı olmak üzere │G│= pn (n≥0) ise G ye bir p-grup denir.

 

G bir sonlu grup ve H≤G olsun H bir p-grup ise H ya bir p-alt grup denir.

 

G bir sonlu grup ve H,G nin bir p-alt gurubu olsun. │H│= pm ,p asal sayısının G nin mertebesini bölen en büyük kuvveti ise (yani pn │G│ ; pn+1 │G│ise) H alt gurubuna G nin bir p-Sylow alt gurubu denir.

 

Yardımcı Teorem 3.21.1. G mertebesi n olan komütatif bir grup ve p,n yi bölen bir asal sayı ise G nin mertebesi p olan bir elemanı vardır.

 

 

Teorem 3.21.1. i)  G bir p-grup ve G≠{1G} ise MG ≠{1G} dir.

                        ii) G bir p-grup ve G≠{1G} ise G gurubunun

 

{1G} = G0Ì G1̅ Gt-1Ì Gt=G          (3.1)

 

Biçiminde bir alt gruplar dizisi vardır. Burada her i (0≤i≤t-1) için Gi<Gi+1 ve  Gi+1/ Gi mertebesi p olan devresel bir gruptur.

 

Teorem 3.21.1 den aşağıdaki sonuçlar elde edilir:

 

Sonuç 3.21.1. G bir p-grup ve |G|=pr; r≥1 ise G nin mertebesi pr-1 olan bir normal alt gurubu vardır.

 

Sonuç 3.21.2. p bir asal sayı olmak üzere, mertebesi p2 olan gruplar komütatiftir.

 

 

 

Teorem 3.21.2 (Birinci Sylow Teoremi). G bir sonlu grup ve p│|G| ise G nin bir        p-Sylow alt gurubu vardır.

 

Yardımcı Teorem 3.21.2. G bir sonlu grup ve P,G nin bir p-Sylow alt gurubu olsun. H,G nin bir p-alt gurubu ise NH(P) = {hH | hP = Ph} (P nin H alt gurubu içindeki normalzatörü)  olmak üzere NH(P) = H∩P dir.

 

 

Teorem 3.21.3 (İkinci Sylow Teoremi). G bir sonlu grup, H≤G ve P,g nin bir p-sylow alt gurubu olsun. Bu durumda H bir p-grup ise bir gG için HÍgPg-1 dir.

 

Teorem 3.21.4 (Üçüncü Sylow Teoremi). i) P ve R, G sonlu gurubunun iki p-Sylow alt gurubu ise bir gG için R=gPg-1 dir, yani herhangi iki p-Sylow alt gurubu G de eşleniktir.

                                                                   ii) G nin birbirinden farklı P-Sylow alt grupları sayısı sp ise sp ≡ 1 (mod p) dir.

                                                                  iii) sp │|G|  dir.