cebir

[Ana sayfaya dön]

 

problemler

 

Prof. Dr. Erhan Güzel Tarafından Hazırlanmıştır

İstanbul Kültür Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik-Bilgisayar Bölümü Öğretim Üyesi

 

“Kitap Hediye Ediyoruz” düzenlememize kapsamındaki  (*****) problemleri bu sayfadadır.

 

 

Cebir I   

Gruplar, grup homomorfisi,permütasyon grupları,bölüm grubu,operatör grup,sylow teoremleri

Cebir II   

Halka, tamlık bölgesi,yarı cisim, cisim,  ideal, polinomlar halkası

Cebir  III 

Cisim genişlemeleri ,cisim otomorfileri, parçalanış cismi,birimin kökleri,sonlu cisimler,ayrılabilen ve normal genişlemeler

Gruplar Teorisi

Temel grup teorisi bilgileriyle çözülebilecek ilginç problemler (4 adet (*****) problem)

İleri Gruplar Teorisi

İleri düzeyde grup teorisi bilgileriyle çözülebilecek ilginç problemler  (3 adet (*****) problem)

Gruplarının Gösterilişleri Teorisi

Grupların Gösterilişleri teorisinde ilginç problemler   (1 adet (*****) problem)

Araştırma problemleri

Grupların Gösterilişleri teorisinde çözülmemiş problemler

 

 

LÜTFEN DİKKAT!

Buradaki yada herhangi bir yerde karşılaştığınız bir problemin çözümünü ararken takıldığınız noktayı belirtmeniz durumunda problemi tam olarak çözebilmeniz  için size yol gösterilecektir.

 

ãCopyright  kaynak belirtilmeden kullanılamaz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Cebir I PROBLEMLER                                                                                     [Ana sayfaya dön]

 Prof. Dr. Erhan Güzel Tarafından Hazırlanmıştır

İstanbul Kültür Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi

ãCopyright  kaynak belirtilmeden kullanılamaz

 

İÇİNDEKİLER

 

BÖLÜM 1

 

GİRİŞ

  

BÖLÜM 2

 

İKİLİ İŞLEMLER VE CEBİRSEL YAPILAR

 

BÖLÜM 3

 

GRUP

 

 

 

 

BÖLÜM 1

 

GİRİŞ

 

1.  A={1,3,5,7,9,10} ,B={2,3,4,6,9} , C ={1,2,3,4,6,7,9,10} için, aşağıda “?”  bulunan yerlere yazabileceğiniz kümeleri belirleyiniz.

     a)  (A×B)∩(A×C) =?

     b)   A×(B∩C)= ?

     c)   (A×B)(A×C) =?

    d)    A\(BC)= ?

    e)   (AB)×(A∩C) =?

    f)    (AB)\(A∩C) =?

 

2. Aşağıdaki iddialar doğru mudur? Neden?

     a) f: A®B tasvirinin (1-1) olması için gerek ve yeter koşul gf=IA olacak biçimde bir g:B®A tasvirinin var olmasıdır.

     b) f: A®B tasvirinin üzerine olması için gerek ve yeter koşul fg=IB olacak biçimde bir g:B®A tasvirinin var olmasıdır.

    c)  A ve B boş olmayan iki küme ise A´B ile  B´A aynı kuvvettedir.

 

3.   Z üzerinde  “a~bÛa2 +a = b2 +b  çift tamsayı” biçiminde tanımlanan “*” bağıntısının bir denklik bağıntısı  

      olduğunu gösteriniz ve bu bağıntının belirlediği sınıflara ayrılışta  0 ın bulunduğu sınıfı belirleyiniz.

4. R´R üzerinde  “(a,b)*(c,d)Ûa-cÎZ , b-dÎZ” biçiminde tanımlanan “*” bağıntısının bir denklik bağıntısı olup olmadığını gösteriniz.

5. Z üzerinde “a~b Ûab&0” biçiminde tanımlanan “~” bağıntısının bir denklik bağıntısı olup olmadığını gösteriniz.

6. Aşağıdaki kümelerden hangisi Z deki “<” sıralama bağıntısına göre iyi sıralanmıştır.

     i) Bütün tek doğal sayılar kümesi

    ii) Bütün çift sayılar kümesi

    iii) Bütün negatif çift sayılar kümesi

   iv) 5 den büyük tam sayılar kümesi

    v) 121 den büyük ,bütün negatif tam sayılar kümesi

7. Aşağıdaki iddialar doğru mudur? Neden?

     a) N doğal sayılar kümesinin her alt kümesinin bir minimal (veya   en küçük) elemanı vardır.

     b) N doğal sayılar kümesi “<” bağıntısına göre tam sıralanmıştır.

     c) 0 (sıfır) bir doğal sayıdır

 

8. m,nÎZ ve (m,n)=1 ise  mj(n)+ nj(m)º1 (mn) olduğunu gösteriniz.

9. 5x+12y=33 diofant denklemini çözünüz

10.  28xº15 (107) kongrüans denklemini çözünüz

11 . “Z  tam sayılar kümesinin boş olmayan alttan (üstten) sınırlı her alt kümesinin  bir en küçük elemanı vardır.” özelliğinin rasyonel sayılar kümesinde geçerli olmadığını gösteriniz

 

 

 

 

 

BÖLÜM 2

 

İKİLİ İŞLEMLER VE CEBİRSEL YAPILAR

 

 

2.4 Problemler

 

2.4.1. Q  üzerinde tanımlanan, , ((a,b)) = a,b = işleminin hangi özellikleri gerçeklediğini belirleyiniz.

 

2.4.2.  kümesi, Q daki  “.” işlemine göre kapalımıdır, asosyatif midir,komütatif midir,birim elemanı var mıdır,her elemanın tersi var mıdır?

 

2.4.3. R2 =R×R = {(a,b) | a,bϵR} kümesinin

(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)

biçiminde tanımlanan “+” işlemine göre hangi özellikleri gerçeklediğini bulunuz.

 

 

 

i)

&

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

&

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

a

3

1

2

3

ii)

&

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

5

3

iii)

 

 

2.5 Tek İşlemli Cebirsel Yapılar

 

 

2.6 Problemler

 

2.6.1.  Boş olmayan bir S kümesini kendi üzerine (1-1) olarak resmeden bütün tasvirlerin kümesinin tasvirlerin çarpma işlemine bir grup olduğunu gösteriniz. Bu grup komütatif midir?

 

2.6.2. R2 =R×R = {(a,b) | a,bϵR} kümesinin

(a,b)+(c,d) = (a+c , b+d)

 

biçiminde tanımlanan “+” işlemine göre bir komütatif grup olduğunu gösteriniz.

 

2.6.3. G = {(a,b,1) | a,bÎR} kümesinin

(a,b,1)*(c,d,1) = (a+c , b+d,1)

 

biçiminde tanımlanan “*” işlemine göre ne tür bir cebirsel yapı olduğunu araştırınız.

 

 

 2.7 İki İşlemli Cebirsel Yapılar

 

2.8 Problemler

 

2.8.1. Aşağıdaki iddialar doğrumudur? Neden?

 

a)        Bir halkada en az iki eleman vardır.

b)        Bir tamlık bölgesinde en az üç eleman vardır.

c)        Tek elemanlı bir cisim vardır.

d)        Her cisim bir halkadır.

e)        Her halka toplama işlemine göre komütatiftir.

f)         Her halka tamlık bölgesi çarpma işlemine göre komütatiftir

g)        Bir tamlık bölgesinde sadece birim elemanın çarpmaya göre tersi vardır.

h)        Birimli bir halkada birim eleman tek türlü belirlidir.

i)          Her sonsuz tamlık bölgesi bir cisimdir.

j)         H birimli bir halka ve KH ise, H ile K nın birimleri birbirinden farklı olabilir.

 

2.8.2. K = { ; ÎC} kümesinin , matrislerin toplama ve çarpma işlemine göre bir halka olduğunu gösteriniz.Bu halka komütatif ve birimli midir?

 

2.8.3. H = {(a , b) |aÎZ , bÎQ} kümesinin

 

( a , b)+(c , d) = (a+c , b+d)

( a , b) .(c , d) = (a.c , b.d)

 

işlemlerine göre bir  halka olup olduğunu gösteriniz.Bu bir halka ise,  komütatif ve birimli midir?

 

 

 

 

2.10 Problemler

 

2.10.1. <R,.> yı <R+{0},.> içine resmeden  φ (a) = |a| tasvirinin bir homomorfi olduğunu gösteriniz.Bu homomorfi üzerine ve (1-1) midir?

 

2.10.2. <C,+> yı kendi içine resmeden f(a+ib) = b+ia tasvirinin bir otomorfi olduğunu gösteriniz.

 

2.10.3. g: CC ; g(a+ib) = a-ib tasviri bir otomorfi olduğunu gösteriniz.

 

 

 

 

 

BÖLÜM 3

 

GRUP

 

3.1 Grup Aksiyomları ve Temel Kurallar

 

 

3.2 Problemler

 

 

3.2.1. Bir G grubunda her aG için a2=1G ise G nin komütatif bir grup olduğunu gösteriniz.

 

3.2.2. Mertebesi çift olan bir grupta birimden başka ,tesi kendisine eşit olan en az bir elemanın daha bulunduğunu gösteriniz.

 

3.2.3. 3.2.2. Bir G grubunda her a,bG için (ab)2=a2b2 ise G nin komütatif bir grup olduğunu gösteriniz.

 

3.2.4. G =Z×Q = {(a,b) | aZ,bÎQ } kümesinin

(a,b)*(c,d) = (a+c , 4c b+d)

 

biçiminde tanımlanan “*” işlemine göre ne tür bir grup olduğunu gösteriniz.

 

3.2.5. G =Z×Z = {(a,b) | a,bZ } kümesinin

(a,b)*(c,d) = (a+c , (-1)c b+d)

 

.

 

 

3.3. Alt Grup

 

 

3.4 Problemler

 

3.4.1. Bir G grubunun bütün elemanlarıyla komütatif olan elemanlarının kümesinin,G nin bir grubu olduğunu gösteriniz.

 

3.4.2. G bir grup ve aG olsun. G nin a elemanıyla komütatif olan bütün elemanlarının kümesinin, G nin bir alt grubu olduğunu gösteriniz.

 

3.4.3.  i) 2×2 regüler matrislerin, matrislerin çarpma işlemine bir grup olduğunu gösteriniz.

             ii) G =  kümesinin,2×2 regüler matrislerin çarpım grubunun bir alt grubu olduğunu gösteriniz.

 

3.4.4. i) Bir A kümesinin kendi üzerine (1-1) bütün tasvirlerinin kümesi S(A) nın, tasvirlerin çarpma işlemine göre bir grup olduğunu gösteriniz.

           ii) Bir a ϵA için, G = {f S(A)| f(a) = a} <S(A)  olduğunu gösteriniz.

 

3.4.5. {1,-1} in R-{0} çarpım grubunun bir alt grubu olup olmadığını belirleyiniz.

3.4.6.  G {a+b|a,bϵQ,a≠0 ve b≠ 0} kümesinin R deki çarpma işlemine göre komütatif bir grup olduğunu gösteriniz.

 

 

 

3.5 Devresel Grup

 

3.6 Problemler

 

3.6.1.  Aşağıdaki iddialar doğrumudur? Neden?

 

      a)   Bütün sonsuz devresel gruplar birbirine izomorftur.

      b)   Her n doğal sayısına karşılık mertebesi n olan bir devresel grup vardır.

      c)   24. Mertebeden bir devresel grubun  doğurayları sayısı 8 dir.

      e)   Bir sonlu devresel grupta her elemanının mertebesi, grubun her doğurayının        

            mertebesini böler .

 

3.6.2.  Z14 teki asal kalan sınıflar grubunda bütün elemanların mertebelerini bulunuz.

3.6.3. C-{0}  çarpım grubunda  elemanının mertebesini bulunuz.

3.6.4. G bir grup ve aG ise |a| = |a-1| olduğunu gösteriniz.

 

3.6.5. G bir grup ve a,bG ise |a| = |bab-1| olduğunu gösteriniz.

 

3.6.6. G bir grup , aG ve  |a| = n olsun. ar = as Û r ≡ s (n) olduğunu gösteriniz.

 

3.6.7. ,Z14 –{} çarpım grubunun bir doğurayı mıdır?

 

3.6.8. 36. mertebeden bir devresel bir devresel grubun bütün doğuraylarını ve alt gruplarını belirleyiniz.

 

3.6.9.  kalan sınıfının Z18 in asal kalan sınıfları grubundaki mertebesini belirleyiniz.

 

3.6.10. G komütatif bir grup , a,bG ive  |a| = m , |b| =n olsun. (m,n) = 1 Þ |ab| = mn olduğunu gösteriniz.

 

3.6.11. G bir grup ,aG ve |a| = n ise |am| =  olduğunu gösteriniz.

 

3.6.12. G bir sonlu grup ve a,bG ise |ab| = |ba| olup olmadığını belirleyiniz.

 

3.6.13. G = <a> mertebesi mn olan bir devresel grup ise |am| =n olduğunu gösteriniz.

 

3.6.14. G bir grup ve a,bG olsun. |b| =5 ve bab-1 = a2 ise |bab-1| yi belirleyiniz.

 

3.6.15. 20. mertebeden bir devresel grupta mertebesi 5 olan kaç tane eleman vardır?

 

 

3.7 Simetrik Grup

 

 

3.8 Problemler

 

3.8.1.   ve   permütasyonlarını yabancı devrelerin çarpımı olarak yazınız ve mertebelerini bulunuz.

 

3.8.2. S8 de S=(1348)(25743)(6128) ,T=(268375)(145732) ,U=(23)(45)(68715) , V=(15)(623)(8476)(35)(68)(54812) permütasyonlarını yabancı devrelerin çarpımı olarak yazınız, mertebelerini bulunuz ve teklik-çiftlik durumlarını belirleyiniz.

 

3.8.3.a)S=,T=,U=

permütasyonlarını yabancı devrelerin çarpımı olarak yazınız.

         b) S,T,U nun mertebelerini bulunuz ve teklik-çiftlik durumlarını belirleyiniz.

         c) T-2SU,S2TS-2,ST2U3S-3 permütasyonlarını yabancı devrelerin çarpımı olarak yazınız.

 

3.8.4. Aşağıdaki permütasyonları yabancı devrelerin çarpımı olarak yazınız.

         a) (abc…k)(al)

         b) (i1i2…ikxyj1j2…js)((ikik-1…i1xyt1t2…tr)

         c) (i1i2…ikxyzj1j2…js)((ikik-1…i1xyzt1t2…tr)

 

3.8.5. S = (akiefj)(kgc)(dbja)(figekbhj) olmak üzere,S333 permütasyonunun teklik-çiftlik durumunu, S yi yabancı devrelere ayırmaksızın belirleyiniz.

 

3.8.6. A4 ün her elemanını 3 uzunluğundaki devrelerin bir çarpımı biçiminde yazınız.

 

3.8.7. Sn grubunun (12),(23),…,(n-1 n)  transpozisyonları tarafından doğurulduğunu gösteriniz.

 

3.8.8. Sn grubunun (12),(123…n)  devreleri tarafından doğurulduğunu gösteriniz.

3.8.9. Sn de r  (r≤n) uzunluğundaki devrelerin sayısının  olduğunu gösteriniz.

3.8.10. pZ birasal sayı olmak üzere Sp = I eşitliğinin sağlayan S Sn elemanlarının sayısının (p-1)!+1 olduğunu gösteriniz.

 

3.8.11. S4 de S = (12) ve T = (13)(24) elemanları tarafından doğurulan alt grubu belirleyiniz.

 

3.8.12. S4 de S = (124)(35) permütasyonu tarafından doğurulan G alt grubunun elemanlarının yabancı devrelere ayrılışını bulunuz ve G nin çarpım tablosunu yapınız.

 

3.8.13. S9 da S = (13926)(538)(7143)(26) için S -1299 permütasyonunun yabancı devrelere ayrılışını bulunuz.

 

3.8.14. S20 de S=(aupbis)(kmobh)(dtefnj)(gruvc) permütasyonu tarafından doğurulan devresel grubun bütün doğuraylarını ve alt gruplarını belirleyiniz.

 

3.9 İndeks

 

 

3.10 Problemler

 

3.10.1.  Aşağıdaki iddialar doğru mudur? Neden?

 

         i) G bir grup ve H ≤G olmak üzere, her aG için aH,H ile aynı kuvvettedir.

        ii) G bir grup ve p Z bir asal sayı olsun. |G|= p olması için gerek ve yeter koşul G nin devresel olmasıdır.

       iii) 75. Mertebeden bir grubun indeksi 10 olan 2 alt grubu vardır.

       iv) 127272≡11 (41) dir.

 

3.10.2.   Z32 nin asal kalan sınıfları grubunun H={`5 } alt grubuna göre sol kalan sınıflarına ayrılışını belirleyiniz.

 

3.10.3.   S6 grubunun 35.mertebeden kaç tane alt grubu vardır?

 

3.10.4.   G grubunun her has alt grubu komütatif ise G de komütatif midir?

3.10.5.    G grubunun her has alt grubu devresel ise G de devresel midir?

3.10.6.    G bir komütatif grup, |G|= n ve bir kN için (k,n)=1 ise bir aG için xk=a denkleminin G de kaç çözümü vardır? (Yol gösterme:  φ:G→G;φ(g)=gk tasvirinin bir otomorfi olduğunu ispat ediniz.)

3.10.7.   Aşağıda “?” olan yerlere değerlerini yazınız.

         i) 1267007 ≡ ? (143)

        ii) 175640 ≡ ? (236)

       iii) 597086 ≡ ? (96)

       iv) 162167 ≡ ? (211)

3.10.8. G = {1,-1,i,-i}  çarpım grubunun H = {1,-1} alt grubuna göre sol ve sağ kalan sınıflarına ayrılışlarını bulunuz.

 

 

3.11 Normal Alt Grup

 

 

3. 12 Problemler

 

3.12.1.  Aşağıdaki iddialar doğru mudur? Neden?

 

         i) G sonlu bir grup olmak üzere N(GÛ[G:N] = 2 dir.

        ii) 24. mertebeden bir devresel grubun 4 tane normal alt grubu vardır.

       iii) Mertebesi asal olan grup komütatiftir.

       iv) ve   permütasyonları aynı tiptedir.

       v) S7 de eşlenik eleman sınıflarının sayısı 8 dir.

      vi) Bir grupta normal olmayan iki alt grubun arakesiti de normal olmayan bir alt gruptur.

 

3.12.2. Bir grubun birtakım normal alt gruplarının arakesitinin de bir normal alt grup olduğunu gösteriniz. 

 

3.12.3. G bir grup, H(G,K(G ve HÇK=f ise her hH ve her kK için hk = kh olduğunu gösteriniz.

 

3.12.4. G bir grup ve H≤G,K≤G olsun.

           i) H(G ise HK≤G olduğunu gösteriniz.

           ii) H(G,K(G ise HK(G olduğunu gösteriniz.

 

 

 

 

3.13 Bölüm Grubu

 

 

3. 14 Problemler

 

3.14.1.  Aşağıdaki iddialar doğru mudur? Neden?

 

         i) S7 grubu basittir.

        ii) |G|=111 ise G grubu basittir.

       iii) |G|=46,N<G ve[G:N] =2 ise G/N grubu basittir.

       iv) |G|=2906,N<G ve[G:N] =2 ise N alt grubu maksimaldir.

       v) N<G ve G/N devresel ise G grubu devreseldir.

 

3.14.2. G = {1,-1,i,-i}  çarpım grubunun H = {1,-1} alt grubuna göre bölüm grubunu bulunuz.

 

3.14.3. i) Z35 te H =  alt kümesinin çarpma işlemine göre bir grup olduğu gösteriniz

           ii) Z35 in asal kalan sınıflarının oluşturduğu çarpım grubu A nın H ya göre bölüm grubunu bulunuz.

          iii)  A  nın <> grubuna göre bölüm grubunu bulunuz.

 

 

 

 

3.16 Gruplarda Homomorfi

 

 

3.16 Problemler

 

3.16.1.  Aşağıdaki iddialar doğru mudur? Neden?

 

          i)  A ve B, tek işlemli iki cebirsel yapı ve φ: A→B bir homomorfi olsun. A bir grup ise B de bir gruptur.

         ii)  φ: A→B bir grup homomorfisi ise φ(1A) = 1B dir.

        iii) n. mertebeden bir devresel grubun her homomorf resmi de n. mertebeden bir devresel gruptur.

        iv) Bir G grubunun komütatif olabilmesi için gerek ve yeter koşul φ: G→G ; φ(g)=g-1 tasvirinin bir otomorfi olmasıdır.

 

3.16.1.  Cayley teoremi yardımıyla  Z15 in asal kalan sınıfları grubunun,S8 in

 

{ I,(1235)(4876),(1532)(4678),(1734)(2658),(1437)(2856),

(13)(25)(47)(68),(16)(24)(38)(57),(18)(27)(36)(45) }

 

alt grubuna izomorf olduğunu gösteriniz.

 

 

 

 

3.17 Çekirdek

 

 

 

3.18 Problemler

 

3.18.1. Aşağıdaki iddialar doğru mudur? Neden?

 

         i) φ: A→B bir grup homomorfisi ise B nin herhangi bir a’ elemanının φ deki tam orijinaller kümesi a nın bir alt grubudur.

        ii) φ: A→B bir grup homomorfisi ,N(A ise A/NB dir.

       iii) φ: A→B bir üzerine grup homomorfisi ise A/KerφB dir.

 

3.18.2. 𝛉 , Z den R-{0} çarpım grubu içine aşağıdaki biçimde tanımlanan bir homomorfi  olsun.

xZ çift ise θ(x) = 1 ve  xZ tek ise θ(x) = -1

           i) Ker𝛉 yi belirleyiniz.

          ii) G/ Ker𝛉 grubunun  mertebesini belirleyiniz.

 

 

 

3.19 Normalizatör, Merkez, Komütatör

 

 

 

3.20 Problemler

 

3.20.1. Aşağıdaki iddialar doğru mudur? Neden?

 

       i) Maksimal normal alt grubu bulunmayan gruplar vardır.

      ii) MG ve G/ MG devresel ise G komütatiftir.

     iii) = 7 dir.

     iv) G bir devresel grup ise G¢ = {1G} dir.

      v) G bir sonlu grup ,   K ve H ,  G  nin  iki  normal alt grubu  ve  K Í  H   ise,

| G/H |  =  | G/K |  /  | H/K |

dır

 

3.20.2. (124)(356) S6  için  grubunu belirleyiniz.

 

3.20.3. G bir grup ve a,bG için NG(a) = NG(b) ise ab= ba olduğunu gösteriniz.İddianın tersi doğru mudur? 

 

 

 

3.21 p-Grup, Sylow Teoremleri

 

3.22 Problemler

 

3.22.1. Aşağıdaki iddialar doğru mudur? Neden?

       

        i) G mertebesi n olan bir grup ve k,n yi bölen bir sayı ise G nin mertebesi k olan  

           bir elemanı vardır.

       ii) Mertebesi 42 olan grup basit basittir.

      iii) 559. mertebeden komütatif olmayan grup yoktur.

      iv) 2772. mertebeden bir grubun 5-sylow alt grubu vardır.

 

3.22.2. A4 grubunun 2-sylow ve 3-sylow alt gruplarını belirleyiniz.

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

Burada verdiğim problemleri çözmek için, üniversitelerimizin matematik bölümlerinde, genel olarak 2-inci sınıfta öğretilen temel grup teorisi bilgileri yeterlidir.

 

 

Problemleri çözmek için yararlanabileceğiniz eserler:

 

1.  J.F.Fraleigh,     A First Cours in Abstract Algebra

                            Addiso-Wesley,Lopndon 1970

2.  I.N.Herstein,    Topics in Algebra

                           Blaisdell Publishing Co. New York-Toronto-London  1964

3.  S.Lange          Algebra

                           Addiso-Wesley,Reading-Massachusetts  1965

4.  W.Ledermann,Theory of Groups

                           Edinburgh,London,New York İnterscience Publishers  İnc. 1953

5.  H.Şenkon,       Soyut Cebir Dersleri Cilt I ve Cilt II

                           İ.Ü.Fen Fakültesi Basımevi 1998

 

 

Problem 1. G  sonlu bir grup ve mertebesi  n  olsun. Bu durumda,

j : G ® G

     x ® x3

 

bir homomorfi ve  3 sayısı  n  sayısını bölmüyorsa,G nin  komütatif bir grup olduğunu gösteriniz.

  

 

 Problem 2. m  ile n sayıları aralarında asal olmak üzere, G grubunun mertebesi m.n olsun. Bu durumda, her gÎ G-{1}  için,       g = xy = yx        olacak biçimde,tek türlü belirli  x,y ÎG-{1}   elemanlarının var olduğunu gösteriniz.

 

 

Problem 3. G sonlu bir grup, H, G nin bir alt grubu ve H nın G içindeki indeksi p olsun. Bu durumda, p sayısı G nin mertebesini bölen en küçük asal sayı ise, H alt grubunun G nin bir normal alt grubu olduğunu gösteriniz.

 

(*****)

Problem 4. G bir devresel grup ve H, G nin bir alt grubu olsun. H nın her otomorfisinin, G nin bir otomorfisinin H alt grubuna daraltılmışı olduğunu gösteriniz.

 

 

Problem 5. p bir asal sayı ve p>2 olsun. G mertebesi p+1 olan bir grup , sÎ Aut(G) ve  |s| = p ise, G abelyendir.

 

 

(*****)

Problem 6. G mertebesi 2n olan bir grup olsun ve  G de mertebesi 2 olan tam n tane elemanın varolduğunu kabul edelim. Bu durumda, mertebesi 2 olmayan  n tane eleman H gibi bir alt grup oluşturuyorsa , n  bir tek tamsayıdır ve H komütatiftir.

(*****)

Problem 7. G bir sonlu grup, TÎ Aut(G) ve T2 = I (I: idantik tasvir) olsun. xÎ G için,

x = 1G ÛT(x) = x

ise, G abelyendir.

(*****)

Problem 8. H, G grubunun bir alt grubu ve [G:H]  sonlu olsun. Bu durumda, G nin  N gibi bir normal alt grubu vardır öyle ki N Í H ve [G:N] sonludur. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bilgi alışverişinde bulunduğum, birlikte çalıştığım arkadaşların ve öğrencilerin problem çözme konusunda gösterdikleri başarı, özen ve iddia doğrultusunda, özellikle gruplar teorisinde iddialı olanlar için, çeşitli kitaplarda bulabileceğiniz, ilginç problemler veriyorum. Bu problemler için de çok sayıda mail almayı bekliyorum. Elimden geldiğince bütün maillere yanıt vermeye çalışacağım

 

 

(*****)

Problem 1. Torsion abel grupları kategorisinde sonsuz direkt çarpım vardır

(*****)

Problem 2. A ve G iki abelyen grup ve f: A ® G bir homomorfi olsun. Bu durumda,

Kerf = Af , İmf = Af  , B£A

için, KerfB = Bf  , İmfB = Bf  ise , [A:B] , [Af: Bf] , [Af  : Bf  ]   ben ikisinin sonlu olması halinde üçüncüsü de sonludur ve  [A:B] = [Af: Bf] . [Af  : Bf  ]   dır.

(*****)

Problem 3. Abel grupları kategorisinde  direkt limit vardır. ("Direkt Limit" tanımı için bkz: S.Lange          Algebra / Addiso-Wesley,Reading-Massachusetts  1965)

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

Grupların Gösterilişi Teorisinde iddialı olan arkadaşlara sıkı bir problem sunuyorum.Kolay gelsin.

 

 

(*****) Sadece bu problemi çözmek kitap hediyemizi almak için yeterlidir

 Problem 1. G bir grup , p bir asal sayı , |G| = pnm , p bölmez m  ve

 

c Î Irr(G)   ;  pn | c(1)

 

olsun. Bu durumda,

xÎG , p | |x| Þ c(x) = 0

 

dır. (Bkz. L. Dornhoff, Grup Representation Theory (Part A),Dekker,New York,1971 / Chapter 16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Çözülmemiş bir problem veriyorum. Gruplar Teorisi ve Grupların Gösterilişi Teorisi konularında ileri düzeyde bilgi sahibi olan matematikçiklerin çözebilecekleri bir problem.

 

 

 

Çözülmemiş Problem :

 

M-grup olan Frobenius grupları belirleyiniz

 

Grupların gösterilişi konusunda yazılmış bütün kitaplardan yararlanılabilir.Pek çok matematik bölümünde bulunacağı gibi,bölümüm kütüphanesinde de bulunan aşağıdaki kitabı yeterli buluyorum:

 

L. Dornhoff, Grup Representation Theory (Part A),Dekker,New York,1971