cebir

[Ana sayfaya dön]

 

  sınav soruları                                                                                  

 

Prof. Dr. Erhan Güzel Tarafından Hazırlanmıştır

İstanbul Kültür Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik-Bilgisayar Bölümü Öğretim Üyesi

 

 

 

 

Vize - Final - Bütünleme sınav sorularından ve yanıtlarından örnekler.   

 

 

 

 

 

= <

T

(1+

ÎH

=b

"b

Ö

 

Cebir I

 

Cebir III

 

ãCopyright   kaynak belirtilmeden kullanılamaz

am>

Ö5) 

x

H/K

W

T

a

G

j :

hom

{h

(4

+

t2

=

ÎB

Zn

Q

a0

+

å

a2

Z

K

Û

1t 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cebir I

        

 

 

24/11/2000

Saat 11.00

 

İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü tarafından hazırlanan

Harran Üniversitesi  Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü

2000-2001 Öğretim Yılı Güz Yarıyılı

SOYUT CEBİR I Dersi  VİZE  Sınavı Soruları

 

 1.  Aşağıdaki iddialar doğrumudur ? Neden ?

a) Bir devresel grupta her elemanın mertebesi grubun mertebesini böler.

b) Bir ikili işlem en az iki elemanlı bir küme üzerinde tanımlanabilir.

c) p bir asal sayı olmak üzere , p modülüne göre kalan sınıflar kümesi Z p  ,kalan sınıfların çarpma işlemine göre bir komütatif gruptur.

d) S = (132)(45) ise  , S123 = (45)  dir.

e) 20 –inci mertebeden  bir devresel grubun tam  10 tane doğurayı vardır.

 

2.   G bir grup olsun . G nin  sonlu sayıda alt grubunun arakesitinin  G nin bir alt grubu olduğunu gösteriniz

 

3.   Her alt grubu devresel olan grup bir devresel grup mudur ? Cevabınızı ispat ediniz.

 

 

 

SINAV SÜRESİ : 90 (DOKSAN) DAKİKA

 

 

 

 

 

19/01/2001

Saat 13.00

İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü tarafından hazırlanan

Harran Üniversitesi  Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü

2000-2001 Öğretim Yılı Güz Yarıyılı

SOYUT CEBİR I Dersi Final Sınavı Soruları

 

 

 

1. Aşağıdaki iddialar doğrumudur ? Neden ?

 

a) G bir komütatif grup ve H , G nin bir alt grubu ise, {xÎG  |  x2ÎH]  kümesi G  nin bir alt grubudur.

b) G bir sonlu grup ve her  gÎG  için   gn = 1  ise ,   | G |  > n   dir.

c) G = <a> bir devresel grup  ve   | G |  = n  olması halinde , ( n , m ) = 1  ise , G = <am>  dır.

d) Her has alt grubu komütatif olan bir grup komütatiftir.

e) S8  de A =(134)(687524)(32569), B = (384)(25478421) , C = (4358)(7214536)  için ,

        | B -1AC -1 | = 6   dır.

f) G bir sonlu grup ,   H ,  G  nin bir normal alt grubu  ve   [G : H] = s  ise  ,  her   xÎG  için, xsÎH dır.

 

2.   G bir sonlu grup ,   K ve H ,  G  nin  iki  normal alt grubu  ve  K Í  H   ise,

| G/H |  =  | G/K |  /  | H/K |

       olup olmadığını belirleyiniz.

 

3.  G ,  10-uncu mertebeden ,komütatif olmayan bir grup ise, a,bÎG  olmak üzere,

 a)   G  = < a,b |  a5 = b2 = 1 , b a b = a-1 >  olduğunu gösteriniz.

 b)   G  nin , S5  in   H = < (12345) , (25)(34) >  alt grubuna izomorf olduğunu gösteriniz.

 

 

SINAV SÜRESİ : 120 (YÜZYİRMİ) DAKİDA

 

 

 

 

 

 

 

02/02/2001

Saat 13.00

İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü tarafından hazırlanan

Harran Üniversitesi  Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü

2000-2001 Öğretim Yılı Güz Yarıyılı

SOYUT CEBİR I Dersi Bütünleme Sınavı Soruları

 

1. Aşağıdaki iddialar doğrumudur ? Neden ?

 

a) n  herhangi bir doğal sayı olmak üzere, mertebesi  n  olan bir  grup vardır.

 

b) j : G ® K   bir grup homomorfisi ise, Kerj ,  G  nin bir normal alt grubudur.

 

c) G  bir grup  aÎG  ve  | a  | = k  ise , her n  doğal sayısı için ,  | an | £  k  dır.

 

d) Her sonlu ve komütatif grup devreseldir.

 

e)S9  da A = (15927)(6354)(28413)   için, A–1275 = (135)(24678)  dir.

 

2. p  bir pozitif asal sayı ise, mertebesi p2  olan grupların komütatif olduğunu gösteriniz.

 

3. G  bir grup ise aşağıdaki iddiaları  ispat ediniz :

 

a) K = { xyx-1y-1  |   x ,yÎG} kümesi G  nin bir alt grubudur.

 

b) K  ,  G  nin bir normal alt grubudur.

 

c) G  nin komütatif olması için gerek ve yeter koşul  G/K  grubunun  G  ye izomorf olmasıdır.

 

 

SINAV SÜRESİ : 120 (YÜZYİRMİ) DAKİDA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12/04/2001

14.00

İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü                  

Cebir II Dersi

2000-2001 Bahar Yarıyılı  Ara Sınav Soruları

 

 

1.Aşağıdaki iddialar doğrumudur?Neden?

 

a) H bir halka ve a,bÎH ise, (–a ) (–b ) = ab  dir

b) Her tamlık bölgesinde sadeleştirme kuralı geçerlidir

c)  n bir pozitif tam sayı ise Zn halkasının karakteristiği n dır.

d) Bir halka izomorfisinde her sıfır bölenin resmi de bir sıfır bölen dir.

e) 2Z  ve 3Z halkaları birbirine izomorftur

f) Birimli bir H halkasında,bir aÎH için,a-1ÏH ise, a bir sıfır bölendir.

 

2. Bir cismin kesirler cisminin kendisine izomorf olduğunu gösteriniz.

 

3. A ve B bir H halkasının iki ideali olduğuna göre,

K = {hÎH  ;  "  b ÎB için , h.bÎA }

kümesinin H nın bir ideali olduğunu gösteriniz.

 

SINAV SÜRESİ  :  90 (DOKSAN) DAKİKA

 

 

11/02/2001

 

09.00

 

İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü

Cebir II Dersi

2001-2002 Bahar Yarıyılı Ara Sınav Soruları

 

 

1.Aşağıdaki iddialar doğrumudur?Neden?

 

a) Birimli bir halkada birim eleman tek türlü belirlidir.

 

b) H halkasında bir a H için Ha = {x H ; ax = a} kümesi H nın bir alt halkasıdır

 

c) Z tamsayılar halkasında <910 , 5005 , 1293> = <91> dir

 

d) a ,b ,c Z için, < a ,b ,c > = Z ise (a ,b ,c) = 1 dir.

 

e) :H K bir halka homomorfisi ve a K ise, -1(a) , H nın bir idealidir.

 

f)T tamlık bölgesinin her A {0} ideali için A=T ise, her a A için a-1 A dır

 

g) : H K bir üzerine halka homomorfisi ve a H bir sıfır bölen ise, (a) K bir sıfır bölendir.

 

 

2. H birimli bir halka ve her a H için a2 = 1 ise,H nın bir cisim olup olmadığını belirleyiniz.

 

SINAV SÜRESİ : 80 (SEKSEN) DAKİKA

YANITLAR

Soruların yanıtları,sınava giren öğrencilerin bilgi edinmeleri amacıyla,çok kısa biçimde verilmiştir.

1. a) x ve y  gibi iki birim eleman olsa,  y = xy  =  yx  =  x  elde edilir.

    b) a¹ 0 ise 0Ï Ha  dır

    c) 91 sayısı1293  ü tam olarak bölmez

    d) <a,b,c> = <1> ise 1 = xa+yb+zc ; x,y,z ÎZ yazılır . (a,b,c) = d  ise, d böler 1 olmak zorundadır.

    e)  Y üzerine değilse, Y-1 (a)  kümesi boş olabilir.

    f)  T bir cisim olmak zorundadır. Ancak sıfırdan farklı her elemanının çarpma işlemine göre bir tersi vardır

    g) Çok sayıdaki aksi örnekten birini vermek yeterlidir.

 

2. Her aÎ H-{0} için a-1 = a dır ve sadece çarpma işlemine komütatif özellik gösterilerek  ispat tamamlanır

 

 

 

27/04/2001

Saat 10.30

İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Tarafından Hazırlanan

Harran Üniversitesi  Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü

SOYUT CEBİR II Dersi  VİZE  Sınavı Soruları

 

1. Aşağıdaki iddialar doğrumudur ? Neden ?

a) H birimli bir halka ve her xÎH için , x2 = x ise, 1 = - 1 dir

b) T bir tamlık bölgesi ve KarT = p  (p asal) ise, 

j : T®T

      x®xp

tasviri bir otomorfidir.

c) T bir tamlık bölgesi ; K ,T nin bir ideali ve K Ç A(T) ¹ Æ  (Æ: boş küme)  ise, K = T  dir

 

2. H birimli bir halka ve her xÎH-{0} için , x2 = 1 ise , H  bir cisim midir? Cevabınızı ispat ediniz

3. T bir tamlık bölgesi , n>1  için, b,a1 ,a2 ,...,anÎT ve

(b,a1)  = (b,a2) = ... =(b,an) = 1

     ise, (b ,  a1 a2 ...an) =1 olup olmadığını belirleyiniz

 

SINAV SÜRESİ : 90 (DOKSAN) DAKİKA

 YANITLAR

 

 

Soru1. Aşağıdaki iddialar doğrumudur ? Neden ?

 

Soru1. a) H birimli bir halka ve her xÎH için , x2 = x ise, 1 = - 1 dir

Yanıt 1.a)  H halkasında her a,b ÎH için,                                            

- (-a) = a

-(ab) = (-a) b = a(-b)

olduğunu biliyoruz (derste ispat edildi). Buna göre, 1ÎH  ise, -1ÎH  olacağından,hipoteze nedeniyle,

 

(-1)2 = -1 ? (-1)(-1) = -1 ? 1 = -1

 

elde edilir. Yani iddia doğrudur.

 

Soru1. b) T bir tamlık bölgesi ve KarT = p  (p asal) ise, 

j : T®T

      x®xp

tasviri bir otomorfidir.

Yanıt 1.b)  i) j tasviri iyi tanımlıdır: Her x,y ÎT  için , x = y ? xp = yp ? j(x) = j(y)  dir.

 

                      ii) j üzerinedir: Her y ÎT için, y = xp  olacak biçimde bir xÎT vardır:

y = xp  olsaydı, x = pÖy olurdu .Yani, T tamlık bölgesi her y elemanıyla birlikte ,y nin p-inci  kökünü de içerirdi.Bu koşulun mümkün olmaması halinde j tasviri üzerine olamayacağından iddia yanlıştır.

 

Soru1. c) T bir tamlık bölgesi ; K ,T nin bir ideali ve K Ç A(T) ¹ Æ  (Æ: boş küme)  ise, K = T  dir

Yanıt 1.c)  K Ç A(T) ¹ Æ  olduğuna göre,bir aÎT için,aÎ K Ç A(T)  dır. Aritmetik birim tanımına göre,

 

a-1Î K ise  aa-1 = 1Î K

 

elde edilir. K bir ideal olduğundan,

 

" tÎT için,t1 = t ÎK ?K ÌT? K =T

 

olmak zorundadır. Yani,iddia doğrudur.

 

Soru 2. H birimli bir halka ve her xÎH-{0}    için , x2 = 1 ise , H  bir cisim midir ? Cevabınızı ispat ediniz

Yanıt 2. Cisim tanımına göre,H nın komütatif bir halka ve H-{0}  kümesinin her elemanının çarpma işlemine göre bir tersi varsa,H bir cisimdir.Oysa,

 

"xÎH-{0}   için , x2 = 1 ? x x = 1 ?x-1 = x

 

olduğundan, her xÎH-{0}  için, x-1ÎH  dır. Öte yandan,H da çarpma işleminin asosyatif özelliği kullanılırsa, "x,yÎH-{0}  için,

 

(xy)2 = 1? (xy)(xy) = 1 ise x(xy)(xy)y =xy ise  (xx)(yx)(yy) = xy  ise  x2 (yx) y2 = xy ise yx = xy

 

elde edilir.Üstelik,x ve y elemanlarından en az birinin 0 olması durumunda da , xy = yx dir.Çünkü, her  xÎH  için, 0x = x0 = 0 olduğunu biliyoruz.Sonuç olarak, H bir cisimdir.

 

Soru 3. T bir tamlık bölgesi , n>1  için, b,a1 ,a2 ,...,anÎT ve

(b,a1)  = (b,a2) = ... =(b,an) = 1

     ise, (b ,  a1 a2 ...an) =1 olup olmadığını belirleyiniz

Yanıt 3. İddia n  e göre indüksiyonla ispat edilir:

 

    n = 2 için iddia doğrudur :    (b,a1)  = (b,a2) = 1 ise (b ,  a1 a2 ) =1 dir:

(b ,  a1 a2 ) = d ise,

 

d | b , d | a1 a2 ise  d | b a2 , d | a1 a2  

dır

 

Oysa, (b,a1)  = 1 olduğundan, (b,a1)  = e ÎA(T) dir. Derste ispat ettiğimiz bir teoreme göre,bir e' ÎA(T) için ,

 

(b a2 , a1 a2) = e' a2 (b,a1) ise  (b a2 , a1 a2) =  a2

 

olacağından, d |  a2  elde edilir. Buna göre,

 

(b,a2) = 1 ve  d | b   ve  d |  a2 ise  d | 1 ise  dÎA(T)  ise  (b ,  a1 a2 ) =1 

 

olmak zorundadır.

 

    n-1 için iddia doğru olsun .Yani, (b,a1)  = (b,a2) = ... =(b,an-1) = 1 ise, (b ,  a1 a2 ...an-1) =1 olsun

 

    iddiayı  n için ispat edelim :

a1 a2 ...an-1 = k diyelim. (b ,  a1 a2 ...an) =d  ise , (b ,  kan) =d  dir. Bu durumda,

d | b , d |kan ise  d | b an , d | k a2  

dır

 

Oysa,indüksiyon hipotezine göre,(b,k)  = 1 olduğundan, (b,k)  = e ÎA(T) dir. Derste ispat ettiğimiz bir teoreme göre,bir e' ÎA(T) için ,

 

(b an , k a2) = e' an (b,k) ise  (b an , k an) =  an

 

olacağından, d |  an  elde edilir. Buna göre,

 

(b,an) = 1 ve  d | b   ve  d |  an ise  d | 1 ise  dÎA(T)  ise  (b ,  k a2 ) =1 

 

olmak zorundadır.

 

 

 

 

 

07/05/2001

11.15

İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü

Cebir II Dersi

İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü tarafından hazırlanan

Harran Üniversitesi  Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü

Soyut Cebir II Dersi

2000-2001 Bahar Yarıyılı  Yarıyıl Sonu Sınavı Soruları

 

 

1.Aşağıdaki iddialar doğrumudur?Neden?

 

a) Z tamsayılar halkasının A = (975,728,455)  idealine göre bölüm halkası Z17  dir

 

b) T bir tamlık bölgesi ve her x ÎT için 2197x = 0 ise, KarT = 2197 dir.

 

c) T bir tamlık bölgesi ve a ÎT-{0} ise,

j  : T    ®     T

        x   ®     ax

     tasviri bir üzerine ve birebir  honmomorfidir.

 

d) 3x4 + 2x2+1  polinomu Z[x] de asaldır.

 

e) F bir cisim , A(x),B(x) ÎF[x]  ve D(x) = (A(x),B(x)) ise, D(x) in A(x) ile B(x)  in bir lineer  

    kombinezonu olarak gösterilişi,yani  R(x), S(x) ÎF[x] olmak üzere,

D(x) = R(x)A(x)+S(x) B(x)

    biçimindeki yazılışı tek türlü belirlidir.

 

2. H , T iki halka, y : H ®  T bir  homomorfi ve A , H nın bir ideali olsun. Bu durumda ,  A  nın  

    y   homomorfisindeki   bütün    resimlerinden    oluşan  ,  K   kümesinin   bir  homomorfinin    

    çekirdeği olup olmadığını belirleyiniz.

 

3. T bir Öklid bölgesi ise,T nin herhangi iki maksimal idealinin arakesitinin de T nin bir  

     maksimal ideali olup olmadığını ispat ediniz.

 

Sınav Süresi : 90 (Doksan) Dakika   

YANITLAR

 

 İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü

Cebir II Dersi

İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü tarafından hazırlanan

Harran Üniversitesi  Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü

Soyut Cebir II Dersi

2000-2001 Bahar Yarıyılı  Yarıyıl Sonu (01/06/2001) Sınavı

 

 

Soru1.Aşağıdaki iddialar doğrumudur?Neden ?

 

Soru1a) Z tamsayılar halkasının A = <975,728,455>  idealine göre bölüm halkası Z17  dir

Yanıt 1 a) Z in bir esas ideal halkası olduğunu ve 975,728,455 sayılarının ebob i  d olmak üzere A=<d> olduğunu biliyoruz.Kolayca görüleceği gibi, (975,728,455) = 13 olduğundan,

A= <13> iseZ/<13> = Z13 elde edilir

.

Soru1b) T bir tamlık bölgesi ve her x ÎT için 2197x = 0 ise, KarT = 2197 dir.

Yanıt 1 b) Bir tamlık bölgesinin karakteristiği ya 0 yada bir asal sayıdır (derste ispat edildi). Karakteristik tanımına göre, 2197x =  0 ise , KarT bir asal sayı olmak zorundadır.;burada,2197 = 133 olduğundan,sorunun yanıtı ortaya çıkar.

 

Soru1c) T bir tamlık bölgesi ve a ÎT-{0} ise,

j  : T    ®     T

        x   ®     ax

     tasviri bir üzerine ve birebir  honmomorfidir.

Yanıt 1c)                                  j tasviri üzerine Û aÎA(T)

olduğu kolayca görülür.Buna göre yanıt ortaya çıkar.

 

Soru1d) 3x4 + 2x2+1  polinomu Z[x] de asaldır.

Yanıt 1d) A(x) = 3x4 + 2x2+1  için, A(x+1) polinomu bulunur , Eisentein kriteri ve derste ispat edilen bir teoreme göre yanıt ortaya çıkar.

 

Soru1e) F bir cisim , A(x),B(x) ÎF[x]  ve D(x) = (A(x),B(x)) ise, D(x) in A(x) ile B(x)  in bir lineer  

    kombinezonu olarak gösterilişi,yani  R(x), S(x) ÎF[x] olmak üzere,

D(x) = R(x)A(x)+S(x) B(x)

    biçimindeki yazılışı tek türlü belirlidir.

Yanıt 1d) Bir örnek vererek iddianın yanlış olduğu gösterilmelidir..

 

Soru 2. H , T iki halka, y : H ®  T bir  homomorfi ve A , H nın bir ideali olsun. Bu durumda ,  A  nın  

    y   homomorfisindeki   bütün    resimlerinden    oluşan  ,  K   kümesinin   bir  homomorfinin    

    çekirdeği olup olmadığını belirleyiniz.

Yanıt 2. K = {y(a)  ;  aÎA},kümesinin ,T nin bir ideali ve  q: T®T/K  homomorfisinin çekirdeği olduğu gösterilir

 

Soru 3. T bir Öklid bölgesi ise,T nin herhangi iki maksimal idealinin arakesitinin de T nin bir  

     maksimal ideali olup olmadığını ispat ediniz.

Yanıt 3. A ve B gibi iki idealin arakesitinin bir ideal ve AÇBÍA (AÇBÍB) olduğu düşüncesinden hemen sonuca gidilir

 

 

10/06/2002

 

09.00

 

İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü

Cebir II Dersi

2001-2002 Bahar Yarıyılı Sınav Soruları

 

 

DİKKAT ! 

C  kompleks , R  reel , Q rasyonel , Z tam sayılar kümesini göstermektedir

 

 

1.Aşağıdaki iddialar doğrumudur?  Neden?

 

a) f(x)C[x] asal  Û (f(x))o  =  1   dir

 

b) Z[x] halkasında her asal polinom primitiftir

 

c) p Z bir asal sayı  ise,  xp-1 + xp-2 + ... + x + 1   polinomu Q[x]  de asaldır

 

d) Her AÇAB bir EİD dir

 

2. Bir T tamlık bölgesinde a.b.c T-{0} için , 1309a = 0 . 242b ¹ 0 , 306c ¹ 0  ise,

    KarT yi belirleyiniz

 

3. j: C ® R tasvirinin bir halka homomorfisi olması için gerek ve yeter koşul  

    nedir ?  Yanıtınızı ispat ediniz.

 

 

 

SINAV SÜRESİ : 90 (DOKSAN) DAKİKA

YANITLAR

Soruların yanıtları, sınava giren öğrencilerin bilgi edinmeleri amacıyla,çok kısa biçimde verilmiştir.  

  1. a) Þ:  f(x) Î C[x]   asal ise, "Cebrin esas teoremi" ne göre sonuç ortaya çıkar

        Ü:  Asal polinom tanımından hemen sonuca gidilir

    b) Z[x] de primitif olmayan  bir polinomun asal olamayacağı kolayca gösterilir

    c) Polinomda  x  yerine  x+1 yazarak elde edilen yeni polinom Eisenstain asallık kriterine göre asal olduğundan,sonuç ortaya çıkar

    d) Örneğin,Z[x]  de <2,x> idealinin bir esas ideal olmadığı ispat edilebilir.

    e) Z6 halkasının bir bölüm halkasında  sıfır bölen bulunmadığı ,örnek olarak verilebilir.

2.  Verilen sayıların çarpanlara ayrılışından sonuç hemen görülür

3.  Gerek ve yeter koşul olarak " her aÎ C için , j (a) = 0 "  olduğu ispat edilmelidir

                    

                                                 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16/11/2000

 

İstanbul Üniversitesi Fen fakültesi Matematik Bölümü

2000-2001 Güz Yarıyılı

CEBİR III  DERSİ VİZE SINAVI SORULARI

 

 

 1. Aşağıdaki iddialar doğrumudur? Neden?

 

        a) Z[x] de < 6 , x >  ideali bir asal idealdir.

  

         b) Q  cismi Z2  cisminin bir  genişlemesidir.

 

       c) K bir cisim ve A ,K nın bir ideali ; A ¹ K ise , A  hem asal   hem de  maksimaldir.

 

      d) Q(1+Ö5)  = Q(4Ö5)  dir.

 

      e) u = Ö(1+3Ö3)  elemanı  Q üzerinde cebirsel  ve deg(u , Q) = 6  dır.

 

 

2.   a) K = Q[x] / < x3 –2 >  bölüm halkasının bir cisim olduğunu gösteriniz.

     

      b) A = < x3 –2 > ve   t = x +A  olduğuna göre, K  cisminin her elemanının

 

a0 + a 1t  + a2 t2    ;    a0 , a 1 ,  a2 Î Q

 

     biçiminde yazılabileceğini ve    t3 –2  =0   olduğunu gösteriniz.

 

 

3.    “F£E bir sonlu  cisim genişlemesi ve  [E:F] = p asal ise , E nin F  yi içeren  alt

       

        cismi yoktur.”  İddiasını ispat ediniz.

       

 

SINAV SÜRESİ : 70 (YETMİŞ)  DAKİKA

 

 

 

15/11/2001

 

İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü

2001-2002 Güz Yarıyılı

 

CEBİR III  DERSİ VİZE SINAVI SORULARI

 

 

1.    Aşağıdaki iddialar doğrumudur? Neden?

  

a)   { 3 + i  ,  1 - i } , Q(i)  nin  Q  üzerindeki bir tabanıdır.

  

b)   [ Q (a) : Q ]  = 2   ise , her  bÎQ(a) ; bÏQ için , deg(b , Q) = 2 dir.

  

c)   E £ K  , a ÎK  ; irr( a,  E ) = n  olmak üzere , F £ E bir cebirsel genişleme

     

       ise , a elemanı  F  üzerinde cebirseldir.

 

2.     Q (a)  ¹ Q (b)  ve  [ Q (a) : Q ] = [ Q (b) : Q ] = 2  ise  , Q (a) Ç Q (b)  = Q 

 

       olup  olmadığını belirleyiniz.

 

3.        x3  -  2  polinomunun bütün köklerini art arda Q cismine katmakla elde edilen

 

       genişleme K ise , [ K : Q ]  = 6 olup olmadığını ispat ediniz.

 

 

SINAV SÜRESİ :  90 (DOKSAN) DAKİKA

YANITLAR

Soruların yanıtları,sınava giren öğrencilerin bilgi edinmeleri amacıyla,çok kısa biçimde verilmiştir..

 

1.  a)  3+i , 1-i  lineer bağımsız olduklarından {3+i , 1-i} , Q(i)  nin  Q üzerindeki bir tabanıdır.

     b)  deg(b,Q) | deg(a,Q)  olduğundan , deg(b,Q)  = 2 dir.

     c)  F £ E , E £ E(a) cebirsel genişlemeler olduklarından , a  , F üzerinde cebirseldir.

 

2.   QÍ Q(a) Ç Q(b)  ve  Q(a) Ç Q(b)ÍQ olduğundan,  Q(a) Ç Q(b)=Q dur.

 

3.   r  = (- 1 + i Ö3 )/2 olmak üzere, x3 - 2 polinomunun kökleri

 

x1 = (3Ö2)   , x2 = r (3Ö2)  , x3 = r2 (3Ö2)

 

olduğundan,  K = Q(x1 , x2 , x3) = Q(3Ö2) , r)  ve [K : Q] = 6 dır

 

 

 

 

 

 

 

 

26/01/2001

16.15

İstanbul Üniversitesi Fen fakültesi Matematik Bölümü

2000-2001 Güz Yarıyılı

CEBİR  III  DERSİ FİNAL SINAVI SORULARI

 

 

1.  Aşağıdaki iddialar doğrumudur ? Neden ?

 

a) {2 + 3Ö2  ,  1– Ö2  } , Q(Ö2  )  nin  Q üzerindeki bir tabanıdır.

 

b) Z11  in  her sonlu genişlemesi bir mükemmel cisimdir.

 

c) Her  aÎGF(pn) – {0}  için, | a |  sayısı  pn –1    sayısını böler.

 

d) Q  £ Q(4Ö2  )  bir normal genişlemedir.

 

e) Z[x] / < x >  bir cisimdir.

 

 

2. Birimin  5-inci daire bölümü cismi,birimin 10-uncu daire bölümü cismine eşit midir ? Cevabınızı ispat ediniz.

 

3. p ve  q  birbirinden farklı iki pozitif asal sayı ise, Öp+Öq     nun  Q(Öp , Öq ) cisminin bir primitif elemanı olup olmadığını belirleyiniz

 

 

 

SINAV SÜRESİ :  90 (DOKSAN) DAKİKA