Prof. Dr. Erhan Güzel Tarafından Hazırlanmıştır

İstanbul Kültür Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik-Bilgisayar Bölümü Öğretim Üyesi

    Cebir II DERS NOTLARI                                                                                              Ana sayfaya dön

 

 

 

 

 

 

  Faydalanılan Eserler

 1 Halka   

   Sıfır Bölen, Tamlık Bölgesi, Cisim, Alt Halka

 2 Bir Halkanın Karakteristiği  

   Binom formülü

 3 İdeal  

   Esas İdeal, Bölüm Halkası

 4 Halkalarda Homomorfi 

   Çekirdek, Maksimal İdeal,asal İdeal

 5 Bir Tamlık Bölgesinin Kesirler Cismi

 6 Tamlık Bölgesinde Hesap  

    Aritmetik Birim, Asal Eleman, EBOB, EKOK, Asal Çarpanlara Ayrılış

 7 Öklid Bölgesi

 8 Polinom Halkaları  

   Kök

 9 Polinomların Asal Çarpanlara Ayrılışı

   Katlı Kök

 

 

ãCopyright- Kaynak belirtilmeden kullanılamaz

 

 

Sunumlar   http://udes.iku.edu.tr/   sayfasında yayında

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Faydalanılan Eserler

 

1.  J.F.Fraleigh,     A First Cours in Abstract Algebra

                            Addiso-Wesley,Lopndon 1970

 

2.  I.N.Herstein,     Theory Of Rings

                            Springer-Werlag,Berlin  1961

 

3.  S.Lange          Algebra

                           Addiso-Wesley,Reading-Massachusetts  1965

 

4.  H.Şenkon,       Soyut Cebir Dersleri Cilt II

                           İ.Ü.Fen Fakültesi Basımevi 1998

 

 

 

 

 

 

1.    HALKA 

 

 

TANIM (Halka). H boş olmayan bir küme olsun. H üzerinde , aşağıdaki koşulları gerçekleyen toplama (+ ; birinci işlem)  ve çarpma (. ; ikinci işlem) işlemleri tanımlı ise, H kümesine , +  ve . işlemlerine göre , bir halka denir ve  < H ; + , . >  biçiminde gösterilir :

 

         I.                 H kümesi  (+) işlemine göre bir komütatif (abelyen) (değişmeli) grup,

                II.                " a,b,cÎH için, a.(b.c) = (a.b).c  ; asosyatif (birleşme) özelliği,

           III.               " a,b ,cÎH için, a.(b+c) = (a.b)+(a.c) ve (b+c).a = (b.a)+(c.a) ; sol ve sağ distribütif 

                    (dağılma) özelliği.

 

      H halkasının toplama işlemine göre etkisiz elemanını (sıfırını) 0H ile gösteriyoruz.

 

 

TANIM (Birimli Halka). H bir halka olsun.

 

" aÎH için ,  a.e = e.a = a

 

olacak biçimde bir e H elemanı varsa,yani ,H halkasının ikinci işleme göre bir birim elemanı varsa, H halkasına birimli bir halka denir ve birim elemanı 1H ile gösterilir.

 

NOT 1.7. Bundan böyle ,aksi söylenmedikçe , bir halka göz önüne alındığında toplama işlemine göre etkisiz elemanı, yani ,halkanın sıfırını 0 ve çarpma işlemine göre birim elemanını, yani ,halkanın birimini 1 alacağız.

 

 

   TEOREM. H bir halka ise, her a,bÎH için aşağıdaki eşitlikler doğrudur:

 

 (1)     a0 = 0a = 0

 (2)     a(-b) = (-a)b = -(ab)

(3)     (-a)(-b) = ab

 

 

 

SIFIR BÖLEN

 

 

TANIM  (Sıfır Bölen). H bir halka olsun. a,b ÎH için

 

a ¹ 0, b ¹ 0 olmak üzere a.b = 0

 

ise, a ve b elemanlarının her birine bir sıfır bölen ve a,b elemanlarına bir sıfır bölen çifti denir. H halkasında en az bir sıfır bölen çifti varsa, H ya bir sıfır bölenli halka,aksi halde bir sıfır bölensiz halka denir

 

      a ¹ 0 olmak üzere,

 

ab = a c Þ b = c  ve  ba =  ca Þ b = c

 

ise, H da çarpma işlemine göre sadeleştirme kuralı yada kısaca sadeleştirme kuralı geçerlidir diyoruz.

 

TEOREM.. H halkasında sadeleştirme kuralının geçerli olabilmesi için gerek ve yeter koşul, H nın sıfır bölensiz olmasıdır.

 

SONUÇ . H sıfır bölensiz bir halka ise, a,b ÎH ve a ¹0 olmak üzere,ax=b denkleminin H da en çok bir x çözümü vardır.

 

TAMLIK BÖLGESİ , CİSİM

 

 

TANIM  (Tamlık Bölgesi). Komütatif,birimli ve sıfır bölensiz bir halkaya bir tamlık bölgesi denir.

 

TANIM.(Yarı Cisim). H birimli bir halka olsun.

 

" aÎH ; a¹0 için , $bÎH ; a.b = b.a = 1

 

ise, yani H halkasının sıfırdan farklı her elemanının çarpma işlemine göre bir tersi varsa,H ya  bir yarı cisim denir.

 

TANIM  (Cisim). H komütatif ve birimli bir halka olsun.

 

" aÎH ; a ¹ 0 için , $bÎH  ;  a.b = b.a = 1

 

ise, yani komütatif H halkasının sıfırdan farklı her elemanının çarpma işlemine göre bir tersi varsa , H ya  bir  cisim denir.

 

      H bir cisim ise, a,b ÎH ve a ¹0 olmak üzere,ax = b denkleminin H da bir çözümünün varolduğu ve bu çözümün tek türlü belirli olduğu ortaya çıkar. Çünkü, bu durumda , x = a-1 b ÎH tek türlü belirlidir. Burada, a-1 b = b a-1 dır ve a-1 b elemanı b/a ile gösterilir. H cisminde a ¹0 olmak üzere, H nın  b/a elemanına bir kesir adı verilir. Özel olarak, sıfırdan farklı bir aÎH elemanının tersi olan a-1 elemanı 1/a ile gösterilir.

 

TEOREM . Her cisim bir tamlık bölgesidir.

 

TEOREM . Her sonlu tamlık bölgesi bir cisimdir.

 

 

ALT HALKA

 

 

TANIM. H bir halka (tamlık bölgesi, yarı cisim ,cisim) olmak üzere, H nın boş olmayan bir K alt kümesi H daki işlemlere göre bir halka (tamlık bölgesi, yarı cisim ,cisim) ise , K ya  H nın bir alt halkası  (alt tamlık bölgesi, alt yarı cismi ,alt cismi) denir ve bu durum gruplarda olduğu gibi, K£ H ile gösterilir. K ¹ H olduğu  kesin olarak biliniyorsa, K< H  yazılır.

 

TEOREM . Bir H halkasının boş olmayan bir K alt kümesinin bir alt halka olması için gerek ve yeter koşullar aşağıdaki gibidir:

 

 (1)       Her a,b ÎK için , a – b ÎK,

 

 (2)       Her a,b ÎK için , a.b ÎK .

 

 

 

 

 

2   BİR HALKANIN KARAKTERİSTİĞİ

 

 

TANIM (Karakteristik). H bir halka olsun. Her aÎH için na = 0 koşuluna uyan bir pozitif tamsayılar varsa bu pozitif tam sayıların en küçüğüne H halkasının karakteristiği denir. Bu koşula uyan hiç bir pozitif tam sayı yoksa , H halkasının karakteristiği 0 dır. H halkasının karakteristiğini  KarH ile göstereceğiz.

 

 

TEOEM .H birimli bir halka olsun. Kar H = n>0  olması için gerek ve yeter koşul , n  nin  n.1 = 0 eşitliğini gerçekleyen en küçük pozitif tam sayı olmasıdır.

 

TEOREM . T bir tamlık bölgesi ise , her aÎT-{0} için , Kar T = n olsun yada olmasın,

 

na = 0 Û n.1 = 0

 

dır.

 

SONUÇ . T  bir tamlık bölgesi  ve  KarT = n > 0 ise ,n tam sayısı, 1ÎT elemanının <T,+> grubu içindeki mertebesidir.

 

SONUÇ . T bir tamlık bölgesi ve KarT = n > 0 ise , aÎT-{0}  olmak üzere, ma= 0   olması için gerek ve yeter koşul  n | m olmasıdır. 

 

TEOREM . Bir T tamlık bölgesinin karakteristiği ya sıfır yada bir asal sayıdır.

 

BİNOM FORMÜLÜ

 

TEOREM  (Binom Formülü). H komütatif bir halka ise, her  a.bÎH ve her nÎN için,

 

(a+b)n = å C(n.k) an-kbk    (k= 0,1,2,...,n)

 

 

 

dır.

 

SONUÇ.  T bir tamlık bölgesi ve KarT = p ¹0  ise, her  a,bÎT için,

 

(a+b)n = ap + bp

dir.

 

 

 

 

3   İDEAL

 

TANIM  (İdeal). H bir halka ve K ,H nın boş olmayan bir alt kümesi olsun.

 

(1)      <K ,+> , <H,+>  grubunun bir alt grubu,

  (2)      Her aÎH için , aK  Ì  K  ( Ka Ì K )

 

ise, K ya H nın bir sol (sağ) ideali denir. K ,H nın hem sol hem de sağ ideali ise,K ya ,H nın iki yanlı bir ideali yada kısaca bir ideali denir.

 

TEOREM . H birimli bir halka ve K ,H nın  bir ideali  ise,

 

1ÎK  Û K=H

 

dır.

 

SONUÇ . Bir cismin triviyal ideallerinden başka ideali yoktur.

 

 

ESAS  İDEAL

 

 

TANIM  (Esas İdeal). H komütatif bir halka  ve a1 ,a2 ,...,at ÎH ise ,kolayca görüleceği gibi

 

K = { h1a1 +h2a2 +...+htat  ; h1 ,h2 ,...,ht ÎH }

 

kümesi H nın bir idealidir. K ya , a1 ,a2 ,...,at  tarafından doğrulmuş ideal adı verilir ve K = <a1 ,a2 ,...,at> yazılır. a1 ,a2 ,...,at elemanlarına K idealinin doğrayları adı verilir. Bir tek elemanı tarafından doğrulmuş bir ideale bir esas ideal denir. Buna  göre bir a elemanı tarafından doğrulmuş esas ideal

 

< a > = { ha   ;   aÎH }

 

dır. Her ideali bir esas ideal olan bir halkaya bir esas ideal halkası (EİH) , esas ideal halkası olan bir tamlık bölgesine esas ideal bölgesi (EİB) denir.

 

TEOREM . Z tamsayılar halkası bir esas ideal halkasıdır

 

BÖLÜM HALKASI

 

TEOREM . K , bir  H halkasının bir ideali ise, aşağıdaki biçimde tanımlanan “ º “  bağıntısı H üzerinde bir kongrüans bağıntısıdır :

 

a º b  Û  a –b ÎK

 

 

        “ º “ kogrüans bağıntısının H üzerinde belirlediği sınıfların her birine, H halkasının K idealine göre bir kalan sınıfı  yada K idealinin H halkası içindeki bir kalan sınıfı denir . Gruplar teorisindeki karşılığı düşünüldüğünde,   bir  aÎH elemanının ait olduğu sınıfın  , K nın , H halkasının toplam grubu içindeki a+K  sol kalan sınıfı olduğu hemen ortaya çıkar. Toplam grubu komütatif olduğuna göre, a+K  sol kalan sınıfı K+a sağ kalan sınıfına eşittir. Burada, , K=0+K = K+0 olduğundan , K nın kendisi bir kalan sınıftır. K nın H içindeki bütün kalan sınıflarının kümesini

 

H/K = {a+K  ; a ÎH}

 

 ile gösteriyoruz. Gruplar teorisinde yapıldığı gibi, Bu küme üzerinde, aşağıdaki biçimde toplam ve çarpım işlemleri tanımlanabilir:

 

(a+K) + ( a+K)  =  (a+b) +K

(a+K) .  ( a+K)  =  (a .b) +K

 

TEOREM . H/K kümesi yukarıdaki toplama ve çarpma işlemlerine göre bir halkadır. H/K halkasına, H halkasının K idealine göre bölüm halkası denir.

 

TEOREM . K , H halkasının bir ideali ise aşağıdaki iddialar doğrudur :

 

a) H komütatif ve birimli ise , H/K bölüm halkası da komütatif ve birimlidir,

b) H sıfır bölensiz ise, H/K  bölüm halkası da sıfır bölenli olabilir,

c) H bir esas ideal halkası ise, H/K bölüm halkası da bir esas ideal halkasıdır.

 

 

 

 

 

 

 

4.    HALKA HOMOMORFİLERİ

 

 

TANIM (Halka Homomorfisi). H ve H¢ iki halka olmak üzere , aşağıdaki koşulları gerçekleyen bir f tasvirine ,H dan H¢ içine bir homomorfi denir :

 

     " a,b ÎH için,

 

f(a + b)  =  f(a) + f(b)

 

f(a .b)  =  f(a) .f(b)

 

f üzerine bir homomorfi ise, f ya, H dan  H¢ ye bir üzerine homomorfi, f bir bire bir homomorfi ise, f ya, H dan  H¢ ye  bir içine izomorfi , f üzerine ve bire bir bir homomorfi ise, f ya, H dan  H¢ ye bir izomorfi denir.

 

      H dan  H¢ içine bir izomorfi  varsa , H halkası H¢ içine yatırılmış denir.

 

      H dan  H¢ ye bir izomorfi  varsa, H ve  H¢ halkalarına birbirine izomorf halkalar denir ve H » H¢ yazılır.

    

     H halkasından kendi içine bir homomorfiye bir endomorfi (yada H nın bir endomorfisi) denir.

    

     H halkasından kendi  üzerine bir izomorfiye bir otomorfi (yada H nın bir otomorfisi) denir.

 

TEOREM . H ve H¢ iki işlemli iki cebirsel yapı ve f : H ® H¢   bir üzerine homomorfi olsun. Bu durumda, H bir halka ise, H¢  de bir halkadır.

 

       Bu teoreme göre aşağıdaki sonuç hemen verilebilir:

 

SONUÇ . H ve H¢    iki halka ve f : H ® H¢   bir homomorfi ise,  f (H ), H¢ nün bir alt halkasıdır.

 

TEOREM . H ve H¢    iki halka ve f : H ® H¢   bir homomorfi ise,aşağıdaki iddialar doğrudur:

 

 (1)    f(0H) = 0H¢ ,

(2)    "aÎH için , f (-a) = - f (a),

 (3)    1H ÎH ise, f(1H) = 1H¢ ,

 (4)    1H ÎH ve bir aÎH için, a-1 ÎH ise, f (a-1) = f (a)-1,

 (5)    K, H nın bir ideali ise, K¢ = f (K) da f (H)   nın bir idealidir.  

.

 

ÇEKİRDEK

 

 

TANIM  (Homomorfinin Çekirdeği).H ve H¢  iki halka ve f : H ® H¢   bir homomorfi ise,

 

{aÎH ; f(a) = 0H¢ }

 

kümesine f homomorfisinin çekirdeği denir ve Kerf ile gösterilir.

 

TEOREM . H ve H¢    iki halka ve f : H ® H¢   bir homomorfi ise, Kerf, H nın bir idealidir.

 

TEOREM. H ve H¢    iki halka , f : H ® H¢   bir homomorfi ve K = Kerf ise,H/K bölüm halkası, H¢ halkasının bir alt halkasına izomorftur.

.

TEOREM . K, bir H halkasının bir ideali ise,

 

y  :  H   ®  H/K

        a   ®  a+K

 

tasviri bir üzerine homomorfidir. y homomorfisine , H nın K idealine göre doğal (kanonik) homomorfisi denir

SONUÇ . H ve H¢    iki halka ise, bir  f : H ® H¢   bir homomorfisinin bir içine izomorfi olması için gerek ve yeter koşul  Kerf = {0H} olmasıdır.

 

 

MAKSİMAL VE ASAL İDEALLER

 

TANIM  (Maksimal İdeal). H bir halka ve A ,H  nın , H dan farklı bir ideali olsun . H  nın A yı bir has alt küme olarak kabul eden ve H dan farklı hiçbir ideali yoksa, A ya  H nın bir maksimal ideali  denir.

 

TEOREM . H komütatif ve birimli bir halka olsun . A  nın  H da bir maksimal ideal olması için gerek ve yeter koşul  H/A  bölüm halkasının bir cisim olmasıdır.

 

SONUÇ . Komütatif ve birimli bir halkanın bir cisim olabilmesi için gerek ve yeter koşul halkanın triviyal ideallerinden başka idealinin olmamasıdır.

 

TANIM  (Asal İdeal). H  komütatif bir halka  ve A , H nın H dan farklı bir ideali olsun. Her a,b ÎH için    abÎA    dan  ya  aÎ A  yada  b ÎA  çıkıyorsa , A ya  H nın bir asal ideali denir.

 

TEOREM . H komütatif ve birimli bir halka , A da H nın bir ideali olsun. H/A  nın  bir tamlık bölgesi olması için gerek ve yeter koşul  A nın bir asal ideal olmasıdır.

 

 

SONUÇ. Her  maksimal ideal bir asal idealdir.

 

 

 

 

 

 

 

5     BİR TAMLIK BÖLGESİNİN KESİRLER CİSMİ  

 

TEOREM . T bir tamlık bölgesi olmak üzere,

 

T´T = {(a,b) ; aÎT,bÎT}

 

kartezyen çarpımını göz önüne alalım. Bu durumda, T´T  kümesinin

 

S = {(a,b)  ;  a,bÎT , b ¹ 0}

 

alt kümesi üzerinde ,aşağıdaki biçimde tanımlana  “ ~ ”  bağıntısı bir denklik bağıntısıdır:

 

(a,b) ~ (c,d) Û ad = bc  

 

TANIM  (Kesir).Her (a,b)ÎS elemanına bir kesir denir ve a/b ile gösterilir.

 

TANIM . Bir (a,b)ÎS elemanının, “ ~ ”  bağıntısına göre ait olduğu sınıfı [(a,b)] ile gösteriyoruz. Buna göre,

 

[(a,b)] = {(x,y)ÎS ; (x,y)~(a,b)} = { x,y)ÎS ; xb = ya}

 

dır ve  iki sınıfın eşitliği aşağıdaki biçimde tanımlanır :

 

[(a,b)] = [(c,d)] Û (a,b) ~ (c,d)

 

    İki sınıfın eşitliği tanımına göre,

 

[(a,b)] = [(c,d)] Û ad = bc

 

olduğundan, kesir gösterilişi kullanılırsa,

 

[(a,b)] = [(c,d)] Ûa/b =c/d

 

olduğu görülür. Yani, [(a,b)] sınıfı, a/b kesrine eşit bütün kesirlerin oluşturduğu kümedir. Bu nedenle, [(a,b)] sınıfı da a/b kesri gibi düşünebiliriz.

    .

TEOREM . F = {[(a,b)]  ; (a,b)ÎS } olsun. Bu durumda , F üzerinde aşağıdaki biçimde verilen toplama ve çarpma işlemleri iyi tanımlıdır :

 

[(a,b)] + [(c,d)]  = [(ad + bc ,  bd)]

 

[(a,b)] . [(c,d)] = [(ac , bd)]

 

 

TEOREM . F kümesi ,iyi tanımlandıkları teorem 5.4  ile ispatlanan toplama ve çarpma işlemlerine göre, bir cisimdir.

 

SONUÇ                     .                             m  :  T    ®    F

      a    ®  [(a,1)]

 

tasviri bir içine izomorfidir.

 

TEOREM . Her T tamlık bölgesi, her elemanı T nin iki elemanının bir kesri biçiminde ifade edilebilen bir F cismine genişletilebilir (yada , F cismi içine yatırılabilir). Böyle bir cisme T tamlık bölgesinin bir kesirler cismi denir.

 

     Bir T tamlık bölgesinin bir kesirler cismi F ise, bundan böyle

 

F = {a/b ; a,bÎT, b ¹ 0}

 

olduğunu düşünebiliriz. Burada, a/b elemanları a/b kesrine eşit bütün kesirlerin ait olduğu kalan sınıfı temsil etmektedir. Buna göre, T tamlık bölgesi F nin

 

{a/1 ; aÎT}

 

alt tamlık bölgesine izomorftur. Dolayısıyla, a/1= a gösterilişini kullanarak, T tamlık bölgesini F cisminin bir alt tamlık bölgesi olarak alabiliriz. Bu bilgiler ışığında, T = Z alındığında , Z tam sayılar  halkasının bir kesirler cisminin

 

Q = {a/b ; a,bÎT, b ¹ 0}

 

rasyonel sayılar cismi olduğu ortaya çıkmış olur.

 

TEOREM . Bir tamlık bölgesinin kesirler cismi, izomorfiler göz ardı edilirse, tek türlü belirlidir.

 

 

 

 

 

 

6     TAMLIK BÖLGESİNDE HESAP

 

TANIM (Bölünebilme).  a,b ÎT için, b = ac  koşulunu gerçekleyen bir cÎT varsa,a ,b yi böler (yada a böler b , yada a,b nin bir çarpanıdır) denir ve  bu durum  a | b  biçiminde  gösterilir. Aksi halde, a ,b yi bölmez (yada a bölmez b yada a,b nin bir çarpanı değildir) denir ve bu durum  a | b  biçiminde  gösterilir.

 

      a,b,c,dÎT herhangi  elemanlar olmak üzere,her biri kolay birer alıştırma olan aşağıdaki özellikler geçerlidir :

 

(1)      a|0

   (2)      0|a Û a = 0

    (3)      1|a

(4)      a|a

(5)      a|b ve b|c ise a|c

    (6)      a|b ve a|c ise a|b±c

(7)      a|b ise a|bc

(8)      a|b ise ca|cb

   (9)      ca|cb ve c¹0 ise a|b

(10)    a|b ve c|d ise ac|bd

 

 

ARİTMETİK BİRİM

      

 

TANIM  (Aritmetik Birimi). aÎT için , ab = 1 koşuluna uyan bir bÎT varsa,  a elemanına T nin bir aritmetik birimi denir.

 

      Buna göre , T nin bütün aritmetik birimlerinden oluşan kümeyi A(T) ile gösterirsek,

 

aÎA(T)  Û a | 1

 

elde edilmiş olur.

 

SONUÇ . Bir tamlık bölgesinin cisim olması için gerek ve yeter koşul, sıfırdan farklı her elemanının bir aritmetik birim olmasıdır.

 

TEOREM . T tamlık bölgesini bütün aritmetik birimlerinden oluşan

 

A(T) = {eÎT ; e | 1}

 

kümesi, T deki çarpma işlemine göre bir komutatif gruptur.

 

 

 

TANIM .  a,bÎT ve e ÎA (T) olmak üzere, b = ea  ise, a ile b aralarında ilgilidir denir ve a~b yazılır.

 

    Her aÎT  elemanının, a ve  ea  (eÎA (T) ) bölenlerine , a nın triviyal bölenleri diyoruz

 

 

ASAL ELEMAN

 

 

TANIM  (Asal Eleman). T nin sıfırdan ve aritmetik birimlerden farklı bir  p elemanının , p= ab ; a,b ÎT gibi her yazılışında, a ve b den en az biri bir aritmetik birim ise,p ye bir asal eleman denir.

 

TEOREM . T tamlık bölgesi bir esas ideal bölgesi (EİB) olsun .T  nın bir <a>¹{0} idealinin bir maksimal  ideal olması için    gerek ve yeter  koşul  a Î T elemanının asal olmasıdır.

 

 

EBOB   ve  EKOK

 

 

TANIM  (En Büyük Ortak Böleni). a1  ,a2 ,...,  a nÎT (n>1), hepsi  birden sıfır olmayan  elemanlar olmak üzere, aşağıdaki koşulları gerçekleyen bir d ÎT elemanına , a1  ,a2 ,...,  a n elemanlarının bir en büyük ortak böleni (ebob) denir ve d = (a1  ,a2 ,...,  a n)  yazılır:

 

(1)      d | ai ; i = 1,2,...n

(2)      cÎT için, c| ai ; i = 1,2,...n  ise , c|d

 

 

TANIM  (En Küçük Ortak Kat) a1  ,a2 ,...,  a nÎT – {0}  (n>1) için, aşağıdaki koşulları gerçekleyen bir kÎT elemanına , a1  , a2 ,...,  a n  elemanlarının bir en küçük ortak katı  (ekok) denir ve

 k=[a1,a2, ... ,  a n]   yazılır :

 

(1)    ai | k  ; i = 1,2,...n

(2)    cÎT için, ai | c  ; i = 1,2,...n   ise, k | c

 

 

     Aşağıda verilen  tanımlar ve teoremler  herhangi iki eleman için göz önüne alınmıştır. n (n>1)  eleman için , tanımlar ve ispatlar (tüme varım yöntemi ile)  tamamen benzer biçimde yapılır.

 

TEOREM . T bir esas ideal bölgesi (EİB) ve a,bÎT her ikisi birden sıfır olmayan herhangi iki eleman olsun. Bir dÎT için d = (a , b) dir ve d = ax+by olacak biçimde x,yÎT elemanları vardır. Yani, bir EİB de, her ikisi birden sıfır olmayan herhangi iki elemanın ebob vardır ve  ebob  bu elemanların bir lineer kombinezonu biçiminde yazılabilir.

 

 

TEOREM . a,b ÎT  her ikisi birden sıfır olmaya iki eleman olsun.(a,b) = d1 ve (a,b) = d2 olması için gerek ve yeter koşul d1 ile d2 nin aralarında ilgili olmalarıdır. Yani, aralarında ilgililik göz ardı edildiğinde, a,b ÎT elemanlarının en büyük ortak böleni tek türlü belirlidir.

 

SONUÇ. a,b ÎT – {0}   için, [a,b] = k1 ve [a,b] = k2 olması için gerek ve yeter koşul d1 ile d2 nin aralarında ilgili olmalarıdır. Yani, aralarında ilgililik göz ardı edildiğinde, a,b ÎT– {0}    elemanlarının en küçük ortak katı tek türlü belirlidir.

 

TANIM  . a,b ÎT elemanlarının bir en büyük ortak böleni T  nin bir aritmetik birimi ise,a ile b elemanları aralarında asaldır denir ve (a,b) = 1 yazılır.

 

TEOREM .  a , b , m ÎT , m ¹0 için, (a , b) = d1  ve  (ma , mb) = d2  ise, md1 ile d2 aralarında ilgilidir.

 

SONUÇ . (i) a , b , c ÎT  ve c | a  , c | b olmak üzere, (a , b) = d1  ve  (a/c,b/c) = d2 ise, d1/c  ile  d2  aralarında ilgilidir.

 

               (ii) a , b , c ÎT  ve c | a  , c | b olmak üzere, aşağıdaki özellik

 

geçerlidir:

(a , b) = c  Û  (a/c , b/c) = 1

 

SONUÇ . a,b,cÎT ,c¹0 olmak üzere, a | bc ve (a , b)= 1 ise, a | c dir.

 

 

SONUÇ . pÎT bir asal eleman olsun . aÎT ve p  bölmez  a  ise, (p , a) =1 dir.

 

SONUÇ . pÎT bir asal eleman ve a , bÎT  olsun. p | ab   ise, p | a  ve  p | b  den en az biri doğrudur.

 

 

ASAL ÇARPANLARA AYRILIŞ

 

 

        Burada amaç , Z de geçerli olan , sıra ve aralarında ilgililik göz erdı edildiğinde, asal çarpanlara ayrılışın tekliği (AÇAT) özelliğinin genel olarak hangi tamlık bölgeleri üzerinde geçerli olduğunu göstermektir. AÇAT özelliğinin geçerli olduğu bir tamlık bölgesine, asal çarpanlara ayrılış bölgesi

 (AÇAB )  adını vereceğiz

 

TANIM . T nin ideallerinden oluşan her,

 

K1 Ì K2 Ì  ...

 

azalan idealler zinciri sonlu ise T de artan zincir koşulu geçerlidir denir.

 

TEOREM . Her EİB  de  artan zincir koşulu geçerlidir.

 

TEOREM . T bir EİB olsun. T nin sıfırdan ve aritmetik birimlerden farklı her elemanı sonlu sayıda birtakım asal elemanların çarpımı biçiminde yazılabilir.

 

SONUÇ . T bir EİB olsun. T nin sıfırdan ve aritmetik birimlerden farklı her elemanının , sıra ve aralarında ilgililik göz ardı edildiğinde , T  deki asal çarpanlara ayrılışı tekdir. Yani, her EİB bir AÇAB dır.

 

TEOREM   (Aritmetiğin Esas Teoremi) .  Z  bir AÇAB  dır.

 

 

 

 

 

 

 

 

7  ÖKLİD BÖLGESİ

 

TAMIM  (Öklid Bölgesi).  T bir tamlık bölgesi olsun. Aşağıdaki koşulları gerçekleyen bir  d : T –{0} ® Z   tasviri varsa, T ye bir öklid bölgesi  denir :

 

(1)      Her aÎ T –{0}  için, d(a) ³ 0

(2)      Her a , bÎ T –{0}  için, d(ab) ³ d(a)

(3)      Her  a , bÎT ; b ¹ 0 için ,

 

a = bq+r  ;  r = 0  yada d(r)  <  d(b)

 

      koşulu gerçekleyen, q , rÎT elemanları vardır.

 

      Burada,aksi söylenmedikçe, yukarıdaki dört koşul ile tanımlanan bir öklid bölgesi için d normuna göre bir öklid bölgesi ifadesini kullanacağız.

 

      Tam sayılarda olduğu gibi, herhangi bir T öklid bölgesinde, a , bÎT ; b ¹ 0 elemanları için,

 

a = bq+r  ;  r = 0  yada d(r)  <  d(b)

 

koşulu gerçekleyen, q , rÎT elemanlarını bulmaya,yani a,b elemanlarına bölme algoritmesi uygulamaya,a    b ye kalanlı olarak bölmek denir. Burada, a ya bölünen, b ye bölen, q ya bölüm ve r ye kalan adı verilir.

 

 

NOT .  T bir tamlık bölgesi olmak üzere her a , bÎT için,

 

 (1)              d(a ) ³0

 (2)              d(a ) = 0  Û a = 0

 (3)              d(a b) = d(a ) d(b)

 

koşullarını gerçekleyen bir d : T ® Z tasvirine ,T üzerinde bir çarpımsal norm denir

 

TEOREM . T bir tamlık bölgesi ve d, T üzerinde tanımlı bir çarpımsal norm olsun. Bu durumda aşağıdaki iddialar doğrudur:

 

 (i)               a,bÎT için, a | b ise , d(a) , d(b) ÎZ için, d(a) | d(b) dır.

 (ii)              Her aÎA(T) için, d(a) = 1   dır.

 (iii)            T tamlık bölgesinde

 

her aÎT ; d(a) = 1 Û her aÎA(T)

 

           koşulunun gerçeklendiğini varsayalım. Bu durumda, aÎT için, d(a) , Z de    

           asal ise,a ,T de asaldır.

 

TEOREM . Her öklid bölgesi bir esas ideal bölgesi (EİB) dir.

 

SONUÇ. Her öklid bölgesi  bir AÇAB dir.

 

NOT.  T bir AÇAB olsun ve T deki ,aralarında ilgili olmayan bütün asal elemanların  kümesini I ile gösterelim. Her a,bÎT-{0}  elemanları ,sıra ve aralarında ilgililik göz ardı edildiğinde, asal elemanların çarpımı biçiminde tek türlü olarak yazılabilir . Buna göre, i = 1 , 2 ,...,r  için ai ³ 0, bi ³ 0 olmak üzere,gerektiğinde 0  üslerde kullanılarak,

 

a =p1a1  p1a2. . .  p1ar  ,  b =  p1b1  p1b2. . .  p1br   ;   p1 , p2  , . . . , pr ÎI

 

yazılabilir. Bu durumda,

 

a | b  Û  "piÎI  için , ai £ bi  ; i = 1,2,...,r

 

olduğu dikkate alınırsa,

 

( a , b ) = Õ pimin (ai , bi),  [ a , b ] = Õ piMak (ai , bi)      ( i= 1,2,...,r  ) 

 

eşitlikleri kolayca elde edilir. Buna göre,

 

Mak (ai , bi) + Min (ai , bi) = ai + bi  ;  i = 1,2,...,r

 

 

olduğundan,

 

[ a , b ] ( a , b ) =  Õ pimin (ai , bi) +Mak (ai , bi),   = Õ pi  ai + bi     

 

                                  = (Õ pi  ai) (Õ pi  bi ) = a b          ( i= 1,2,...,r  ) 

 

elde edilir.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8    POLİNOM HALKALARI

 

 

 

   TANIM .  H bir halka olsun. H nın elemanlarından oluşan ve ancak sonlu sayıda terimi sıfırdan farklı olan

 

a0 , a1 , a2 , ... , an , ...

 

dizisini göz önüne alalım. Bu durumda, x bir değişken (bilinmeyen  yada  belirsiz) olmak üzere,

 

f(x) = a0 + a1x + a2 x2 + ... + an xn + ...

 

ifadesine, H üzerinde , katsayıları  ai  ( i = 1,2,... ) elemanları olan tek değişkenli bir polinom denir. H üzerindeki bütün tek değişkenli polinomlardan oluşan küme H[x]  ile gösterilir. an xn   , f(x) polinomunun genel terimi ; a0  , f(x) polinomunun  sabit terimidir.

 

      f(x) , g(x) Î H[x] ve

 

f(x) = a0 + a1x + a2 x2 + ... + an xn + ...

g(x) = b0 + b1x + b2 x2 + ... + bn xn + ...

 

olmak üzere, ai = bi  (i = 1,2,...,n,...) ise ,f(x) ve g(x) polinomları birbirine eşittir denir ve  f(x) = g(x)  yazılır. Buna göre,

 

a0 , a1 , a2 , ... , an , ...

 

dizisinin verilmesiyle,

 

f(x) = a0 + a1x + a2 x2 + ... + an xn + ...

 

polinomu tek türlü olarak belirlidir.

 

    Bütün katsayıları sıfır olan polinoma sıfır polinom denir ve 0ÎH ile gösterilir. Buna göre,

 

0 =  0 + 0x + 0 x2 + ... + 0 xn + ...

 

dır.

 

    f(x)Î H[x]-{0}  ise, f(x)  in sonlu sayıda katsayısı sıfırdan farklı olacağından, ai ¹ 0 koşuluna uyan aiÎH elemanlarının  i  indekslerinin n  gibi bir maksimumu vardır. Bu durumda,

 

an ¹ 0  ve "  i > n  için , ai = 0

 

koşuluna uyan n ³ 0 tam sayısına, f(x) polinomunun derecesi denir ve   deg(f(x)) = n ( yada, (f(x))o = n ) yazılır. Bu durum, “f(x),n-inci dereceden bir polinomdur “ biçiminde ifade edilir. Buna göre, derecesi n olan bir f(x) polinomu , sıfıra eşit olan katsayılar yazılmayarak

 

        f(x) = å ai xi             (i = 0,1,2,...,n)

 

          =  a0 + a1x + a2 x2 + ... + an xn

 

biçiminde gösterilebilir. Derecesi  0  olan plinoma sabit polinom denir. Burada,

 

deg(f(x)) = 0  Û  f(x) = a0

 

olduğundan, H halkasının her elemanı  bir sabit polinomdur. Yani, sıfır polinomun derecesi de sıfırdır. Buna göre, H Ì H[x]  ve T ,H nın bir alt halkası ise, T[x] Ì H[x] olduğuna dikkat ediniz.

 

     f(x) , g(x) Î H[x]  ve

 

f(x) = å ai xi       (i = 0,1,2,...,n)

                                                    g(x) = å bi xi       (i = 0,1,2,...,m)

 

 

olsun. Bu durumda, f(x) ve  g(x)  polinomlarının toplamı, ci = ai + bi   olmak üzere,

 

f(x) + g(x) = å ci xi            (i = 0,1,2,...,t)

 

biçiminde tanımlanır.

 

f(x) ve  g(x)  polinomlarının verilen sıradaki çarpımı ,

 

di = ai b0 +ai-1 b1 +...+a0 bi

 

olmak üzere,

 

f(x) g(x) = å di xi          (i = 0,1,2,...,k)

 

biçiminde tanımlanır

 

TEOREM . (i) H bir halka ise, f(x) , g(x) Î H[x] için,

 

deg(f(x) + g(x)) £ Maks[deg(f(x)) ,deg(g(x))]

 

                   (ii)   T  bir tamlık bölgesi ise f(x) , g(x) Î T[x]-{0} için,

 

deg(f(x) g(x)) = deg(f(x)) + deg(g(x))

 

dır.

 

 

 

SONUÇ . T bir tamlık bölgesi olmak üzere, f(x) , g(x) Î T[x]-{0} için,

 

deg(f(x))£ deg(f(x)g(x))

dır.

 

 

TEOREM .  (i) H bir halka olmak üzere,H[x] kümesi polinomların toplama ve çarpma işlemlerine göre bir halkadır.

 

                           (ii)  T bir tamlık bölgesi ise, T[x] de bir tamlık bölgesidir.

 

 

 

TEOREM . F bir cisim ise, F[x] bir öklid bölgesidir.

 

SONUÇ .  F bir cisim olmak  üzere, F[x] esas ideal bölgesi (EİB) dir.

 

SONUÇ . F bir cisim olmak üzere, ikisi birden sıfır olamayan f(x),g(x)ÎF[x] polimomu için   d(x) ÎF[x] gibi bir ebob vardır ve h(x),s(x)ÎF[x] olmak üzere, d(x) = h(x) f(x)+ s(x) g(x)  yazılışı vardır.

 

SONUÇ . F bir cisim ise, F[x] bir AÇAB  dır.

 

 

KÖK

 

 

  TANIM . K , H halkasının bir alt halkası ve aÎH olsun . Bir f(x) ÎK[x]  için ,  f(a)  = 0  ise, aÎH elemanına f(x) polinomunun bir kökü (yada sıfırı) denir.

 

TEOREM . T, V tamlık bölgesinin bir alt tamlık bölgesi olsun. Bir aÎV elemanının, bir  f(x)ÎT[x] polinomunun bir kökü olması için gerek ve yeter koşul V[x]  de,

 

f(x) = (x –a) g(x)  

 

gibi bir eşitliğin bulunmasıdır.

 

TEOREM . T, V tamlık bölgesinin bir alt tamlık bölgesi olsun. V  nin birbirinden farklı  a1,a2,...,as  elemanlarının bir f(x) ÎT[x] polinomunun kökleri olması için gerek ve yeter koşul V[x]  de,

 

f(x) = (x –a1) (x –a2) ... (x –as) g(x)  

 

gibi bir eşitliğin bulunmasıdır.

 

SONUÇ .  T    bir   tamlık    bölgesi   olmak  üzere  ,    f(x) ÎT[x] –{0}    ve

deg(f(x)) = n  ise,  f(x) polinomunun  T tamlık bölgesinin bir üst tamlık bölgesinde birbirinden farklı en çok  n tane kökü vardır. 

 

TEOREM . F , bir E cisminin bir alt cismi olmak üzere, bir aÎE elemanının  f(x) , g(x) ÎF[x] polinomlarının bir ortak kökü olması için gerek ve yeter koşul, d(x) = (f(x) , g(x) )  polinomunun bir kökü olmasıdır.

 

TANIM . F  bir cisim olmak üzere, F[x] in sıfırdan ve aritmetik birimlerden farklı bir  p(x) polinomunun , p = a(x)b(x) ; a(x),b(x)ÎF[x] gibi her yazılışında, a(x) ve b(x) den en az biri bir aritmetik birim (yani, deg(a(x)) ve deg(b(x)) den en az biri 0 ,yada başka bir değişle, a(x) ve b(x) den en az biri F*  ın bir elemanı) ise,p(x) e bir asal (indirgenemez) polinom  denir. 

 

   Tanıma göre, bir f(x)ÎF[x] ; deg(f(x)) >1 polinomu için ,  aÎF olmak üzere,f(a) = 0 ise ,

 

f(x) = (x – a) g(x) ; g(x) ÎF[x] , deg(g(x)) ³ 1

 

yazılabileceğinden, f(x) polinomu F[x]  de asal değildir. Yani, f(x) polinomu F[x]  de asal ise, her a ÎF  için, f(a) ¹ 0 olmak zorundadır. Bu nedenle, , f(x) polinomu F[x]  de asal ise, “f(x) polinomu F üzerinde asaldır ” ifadesi kullanılabilir .Ancak, F[x]   in birinci dereceden  (lineer) g(x) = (x +a)  polinomu için,

 g(–a ) = 0  olmasına rağmen, tanıma göre,  F[x]  de asaldır.

 

 

    Daha önce söz konusu edilen Cebrin Esas Teoremi  aşağıdaki gibidir:

 

“ " f(x)Î C[x]  ;  deg(f(x)) = n  polinomunun C içinde tam  n tane kökü vardır “

 

Buna göre, C[x]  de sadece birinci dereceden polinomların  asal olabileceğine dikkat edelim.

 

TEOREM . F , bir E cisminin bir alt cismi olmak üzere, bir aÎE elemanının  p(x)  asal olmak üzere p(x) , g(x) ÎF[x] polinomlarının bir ortak kökü olması için gerek ve yeter koşul  ,  p(x)  | g(x)   olmasıdır.

 

     F bir cisim olmak üzere, F[x]  bir EİB olduğunu biliyoruz. Oysa, teorem 6.11 ile, “T tamlık bölgesi bir esas ideal bölgesi (EİB) ise, T  nin bir <a> ¹ {0} idealinin bir maksimal  ideal olması için    gerek ve yeter  koşul  a Î T elemanının asal olmasıdır.”  iddiası ispat edilmişti . Buna göre,

 

“F  bir cisim olmak üzere F[x]  polinomlar halkasının  bir  < p(x) > ¹ { 0 }   idealinin maksimal olması için gerek ve yeter koşul p(x) polinomunun F üzerinde asal olmasıdır.”

 

iddiası doğrudur.

 

 

 

 

 

 

 

 

9    POLİNOMLARIN ASAL ÇARPANLARA AYRILIŞI

 

 

 Katlı Kök

 

TANIM.  T ,  V tamlık bölgesinin bir alt tamlık bölgesi ve  f(x) Î T[x] – {0}

olsun. Bir aÎV ve bir k ³1 tamsayı olmak üzere , bir g(x)ÎV[x] için,

 

f(x) = (x - a )k g(x)  ;  g(a) ¹ 0

 

yazılabiliyorsa, a  elemanına f(x) polinomunun k-katlı (yada çok katlılığı k olan )bir kökü denir. k = 1 ise,  a  ya basit bir kök ; k > 1   ise, çok katlı bir kök adı verilir.

 

TEOREM . T, V tamlık bölgesinin bir alt tamlık bölgesi olsun. V  nin birbirinden farklı  a1,a2,...,as  elemanlarının bir f(x) ÎT[x] – {0}  polinomunun sırasıyla   k1 , k2 ,..., ks  katlı kökleri olması için gerek ve yeter koşul V[x]  de,

 

f(x) = (x –a1) k1(x –a2) k2 ... (x –as) ks g(x)   ;  g(ai) ¹ 0 , i = 1,2,...,s

 

gibi bir eşitliğin bulunmasıdır.

 

TANIM .  T bir tamlık bölgesi olsun . h ikinci bir değişken gibi düşünülmek üzere,  bir f(x)ÎT[x] polinomu için,

f(x) = å ai xt  ; aiÎF Þ  f(x+h) = å ai (x+h) t     (t = 0,1,2,...,n)

 

dir. Son eşitlik açılıp katsayılar düzenlendiğinde,

 

(*)                           f(x+h) = f(x) + f(x)1h +  f(x)2 h2 + ... + f(x)n hn

 

elde edilir. Buna göre , (*) yazılışında  h  nın katsayısı olan f1(x) polinomuna  f(x) polinomunun  türevi denir ve f ¢(x)  ile gösterilir.

 

          Burada, (*) eşitliğinden elde edilen

 

(**)                         f(x+h) - f(x)/h = f(x)1 +  f(x)2 h + ... + f(x)n hn-1

                      

eşitliğinde  h=0 yapıldığında, kesrin değerinin f ¢(x) olduğu ortaya çıkar. Buna göre, v , T nin bir üst tamlık bölgesi  ve a ÎV olmak üzere, (**) eşitliğinde    h=a –x    alınırsa,

 

f(x) = f(a) - f(x)/  = f(x)1 +  f(x)2 (a-h) + ... + f(x)n (a-h)n-1

 

elde edilir ve  x = a  için,  f(a) = f1(a)  = f ¢(a)  olduğu ortaya çıkar. Dolayısıyla, T tamlık bölgesi  olarak R reel sayılar kümesi alındığında , burada tanımlanan türev  ile analizde tanımlanan türevin aynı olduğu görülür. Buna göre,türevin analizden bildiğimiz bütün özelliklerinin aynen geçerli olduğu kolayca ispat edilebilir. Bundan böyle bir polinomun türevini alırken analizden bildiğimiz gibi davranacağız Yani,

 

f(x) = å at xt Þ f ¢ (x) = å at t x t-1      (t = 0,1,2,...,n)

 

 

yazacağız.

 

TEOREM . T bir tamlık bölgesi olmak üzere,f(x)ÎT[x] –{0}    polinomunun bir a kökünün çok katlı olması için gerek ve yeter koşul f ¢(a) = 0  olmasıdır.

 

SONUÇ . F bir cisim ,  f(x)ÎF[x] –{0}  ve ( f(x) , f ¢(x) ) = 1  ise, f(x) polinomunun çok katlı kökü yoktur.

 

TEOREM . T bir tamlık bölgesi olmak üzere,f(x)ÎT[x] –{0}    polinomunun k katlı bir a kökü f ¢(x)  in en az  (k –1) katlı bir köküdür.

 

         Ancak , T tamlık bölgesinin karakteristiği  sıfır ise sonuç kesin olarak verilebilir:

 

TEOREM . T ,karakteristiği  sıfır olan bir tamlık bölgesi olsun. V, T nin bir üst tamlık bölgesi olmak üzere, a ÎV elemanı f(x)Î,T[x] polinomunun k katlı bir  kökü ise , kökü f ¢(x)  in  tam (k –1) katlı bir köküdür.

 

          Buna göre , T tamlık bölgesinin karakteristiğinin 0 olması   halinde, bir  a elemanının bir f(x)ÎT[x] polinomunun k katlı bir  kökü olması için gerek ve yeter koşul hemen ortaya çıkar

 

SONUÇ . T ,karakteristiği  sıfır olan bir tamlık bölgesi olsun. V, T nin bir üst tamlık bölgesi olmak üzere, a ÎV elemanının f(x)ÎT[x] polinomunun k katlı bir  kökü olması için gerek ve yeter koşul

 

f ¢(a)= 0 , f ¢¢(a)= 0 , ... , f (k –1)(a)= 0

 

olmasıdır.