Prof. Dr. Erhan Güzel Tarafından Hazırlanmıştır

İstanbul Kültür Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik-Bilgisayar Bölümü Öğretim Üyesi           

Cebir III Ders Notları                                                                                                                                                                            Ana sayfaya dön

 

 

   Faydalanılan Eserler

 1 Cisim Genişlemeleri

   Cebirsel ve Transandant Elemanlar Minimal Polinom

 2 Basit Genişlemeler   

   Eşlenik Elemanlar ve Denk Cisimler

 3 Sonlu ve Cebirsel  Genişlemeler

 4 Cebirsel Kapanış

 5 Cisim Otomorfileri

   Bir Cismin Otomorfileri Grubu

 6 Parçalanış Cismi

 7 Birimin Kökleri ve Daire Bölümü Cismi

   Primitif Kök  Euler fi-Fonksiyonu  Möbius Fonksiyonu

 8 Sonlu Cisimler  

   Galois Alanı

 9 Ayrılabilen ve Normal Genişlemeler  

   Ayrılabilen Genişleme, Mükemmel Cisim, Primitif Eleman Teoremi, Normal Genişleme, Galois Grubu

 

                                                                                         ãCopyright-Kaynak belirtilmeden kullanılamaz

 

 

 

 

 

 

Sunumlar   http://udes.iku.edu.tr/   sayfasında yayında

 

 

 

 

 

Faydalanılan Eserler

 

 

1. John B. Fraleigh , A first Course in Abstract Algebra ,

                                 Addison –Wesley Publishing Company , 1969

 

2.   I . N . Herstein , Topics in Algebra,

                                Xerox College Publishing , 1964

 

3.  Nathan  Jacobson , Lectures in Abstract Algebra III,

                              Springer-Verlag , 1975

 

4.  Serge Lang , Algebra ,

                         Addison –Wesley Publishing Company , 1974

 

5.  Ian Stewart , Galois Theory,

                           Chapman and Hall , 1973

 

 

 

 


 

 

 

H birimli bir halka ve birimi 1 olsun. Bu durumda , n ÎZ ve

 

n>0   için , n.1 = 1 + 1  + 1 +  . . . + 1  ;  (  n  tane  1  i toplamak)

     n<0   için  ,  n.1 = (-1) +(-1)  +(-1) +  . . . + (-1)  ;  (  n  tane  (-1)  i toplamak)

 

     n=0   için  ,  n.1 = 0

 

olduğunu hatırlayalım.

 

TEOREM . H birimli bir halka ise,    

 

j:Z  ®   H

   m  a m.1

 

tasviri içine bir homomorfidir.

 

SONUÇ. H birimli bir halka ve H nın  karakteristiği  karH = n  olsun. n>1  ise , H nın  Zn  ye izomorf bir alt halkası, n = 0  ise H nın Z  ye izomorf bir alt halkası vardır.

 

TEOREM F cisminin karakteristiği p asal sayısı ise ,F cisminin  Zp  ye izomorf bir alt cismi , F cisminin karakteristiği  0  ise ,F cisminin  Q  ya izomorf bir alt cismi vardır.

 

TANIM Triviyal alt cisimlerinden başka alt cisimi olmayan bir cisme asal cisim denir.

 

TANIM  F  ve E  iki cisim ve  F £E ise  E  cismine  F cisminin bir cisim genişlemesi denir.

 

TEOREM  ( Kronecker). F bir cisim,f(x)ÎF[x]  sabit olmayan bir polinom olsun. F cisminin ,f(x) in en az bir kökünü içeren bir  E cisim genişlemesi vardır.

 

 

                                                         ya : F[x]  ®   E

                                                         g(x)  ® g(a)

                                                            a    ®   a        ;  "a ÎF

                                                                                   x    ®   x

 

tasviri bir homomorfidir. ya homomorfisine , F[x]  in E içine kanonik homomorfisi diyeceğiz.

 

 

Cebirsel  ve Transandant Elemanlar

 

 

TANIM  F£E bir cisim genişlemesi ve  aÎE olsun. Bir  f(x)Î F[x] için f(a) = 0 ise ,a ya F üzerinde cebirsel , aksi halde , F üzerinde transandant denir.

                                                                                                                                      

TANIM 2.8. C nin bir elemanı  Q  üzerinde cebirsel ise bir cebirsel sayıdır, transandant ise bir transandant sayıdır

             

TEOREM  F£E bir cisim genişlemesi ve  aÎE olsun

 

ya : F[x]  ®   E

                                                             g(x)  ®    g(a)

kanonik homomorfisi göz önüne alındığında, a  nın F üzerinde transandant olması için gerek ve yeter koşul ya  nın bire bir olmasıdır.

 

 

Minimal Polinom

 

 

TEOREM F£E bir cisim genişlemesi,aÎ E ; a¹0 ve a, F üzerinde cebirsel olsun. Bu durumda, kronecker  teoremine göre bir p(x)Î F[x] asal polinomu için  p(a) = 0 dır. Bu asal  p(x) polinomu  a yı kök kabul eden polinomlar arasında derecesi en küçük olandır ve F nin elemanları göz ardı edilirse p(x) tek türlü belirlidir. Öte yandan, p(x)  polinomu  F[x]  in sıfırdan farklı ve a yı kök kabul eden her  polinomunu böler.

 

TANIM  x  in en yüksek derecesinin sıfırdan farklı katsayısı  1 olan bir polinoma monik adını vereceğiz.

 

TANIM  F£E bir cisim genişlemesi ve  aÎE  ,  F üzerinde cebirsel olsun. Teorem 2.10. da tek türlü olarak belirlenen  asal ve monik p(x) polinomuna  a nın  F üzerindeki minimal polinomu denir ve irr(a ,F) ile gösterilir . irr(a , F) polinomunun derecesine a nın F üzerindeki derecesi denir ve deg(a , F) ile gösterilir.

 

NOT Bundan böyle, belirli bir F cismi ile işlem yapıyorsak  a , F üzerinde cebirseldir yerine a cebirseldir ; a nın  F üzerindeki minimal polinomu yerine a nın minimal polinomu ; a nın F üzerindeki derecesi yerine a nın derecesi  diyeceğiz.

 

 

 

 

 

         F£E bir cisim genişlemesi ve  aÎE olsun. ya : F[x]  ®   E   kanonik homomorfisi göz önüne alındığında  a nın F cismi üzerinde cebirsel olup olmamasına göre iki farklı durum ortaya çıkar:

 

   1)     a nın F cismi üzerinde cebirsel olması hali:

 

ya (F[x]) » F[x]/ <irr(a ,F)>  cismini  F(a) ile göstereceğiz.

 

2)    a nın F cismi üzerinde transandant olması hali:

 

ya(F[x]) tamlık bölgesi  F[a]  ile gösterilir. F[a] nın kesirler cismi de E içindedir ve bu cisim E nin F  ve  yı içeren en küçük alt cismidir .Bu cisim de F(a) ile gösterilir. Buna göre, F[x]  in kesirler cismi F(x) ile gösterilirse , F[x] »F[a] ve F(x)»F(a)  dir.

 

TANIM  F£E bir cisim genişlemesi ve bir  aÎE için F(a) = E ise ,E ye F  in bir basit genişlemesi denir. F(a) cismi F cismine  a elemanını katmakla elde edilen cisimdir.

 

TEOREM  F(a) = F(b) Û aÎF(b) , bÎF(a)  dır.

 

 

Eşlenik Elemanlar ve Denk Cisimler

 

 

TANIM F£E ve F£K iki cisim genişlemesi olsun.

 

                    j : E ® K

                           a ® a         ;  "aÎF

 

izomorfisi varsa  j ye  E den K ya bir F-izomorfi,E ve K ya F-izomorf cisimler yada ,F ye göre birbirine denk cisimler denir ve  E   »  K  yazılır. E = K  ise  j ye E  nin bir F-otomorfisi denir .

 

TANIM F£E  bir cisim genişlemesi olsun. a , b ÎE  elemanları F[x]  in aynı asal polinomunun kökleri ise,yani

 

İrr(a,F) = irr(b,F)

 

a ve b elemanlarına F üzerinde eşlenik elemanlar denir

 

TEOREM  F(a) ve  F(b) iki basit genişleme olsun . a  ve  b  F üzerinde transandant  yada F üzerinde eşlenik elemanlar ise,bir

 

ya , b : F(a)  ® F(b)

             a    ® b

 

F-izomorfisi vardır. ya , b izomorfisine temel izomorfi adını veriyoruz.

 

TEOREM   aÎE ,F cismi üzerinde cebirsel , E = F(a) bir basit genişleme  ve deg(a,F)=m ³1 olsun. F(a)  nın her  b elemanı aşağıdaki biçimde tek türlü olarak ifade edilebilir:

 

TEOREM  F £ E  bir cisim genişlemesi ve aÎE, F üzerinde  cebirsel olsun. deg(a,F)=n ise,F(a) cismi, F üzerinde bir tabanı {1,a,...,an-ı } olan bir vektör uzayıdır. Üstelik, her bÎ F(a) elemanı F üzerinde cebirsel ve  deg(b,F)£ deg(a,F) dir.

     

 

 

 

 

 

 

TANIM  F£E bir cisim genişlemesi ve E nin her elemanı F üzerinde cebirsel ise, E ye F in bir cebirsel genişlemesi denir.

 

SONUÇ.. aÎE elemanın F üzerinde  cebirsel olması için gerek ve yeter koşul F£F(a) in bir cebirsel genişleme olmasıdır.

 

TANIM  F£E bir cisim genişlemesi ve E cismi F üzerinde sonlu  n boyutlu bir vektör uzayı ise, E ye F nin n inci dereceden bir sonlu genişlemesi , n doğal sayısına F cisminin E cismi içindeki derecesi denir ve  n = [E:F]  yazılır.

 

      Bir  a elemanı  F cismi üzerinde cebirsel ise, F(a) cismi F üzerinde  boyutu deg (a,F)  olan  bir  vektör  uzayı olduğundan, F£F(a)  bir sonlu cisim genişlemesi ve

 

[F(a) : F] = deg (a,F)

 

dir. Bundan böyle,irr(a,F) polinomuna F(a) nın F üzerindeki tanın polinomu diyeceğiz

 

TEOREM . F£E bir sonlu  cisim genişlemesi  ise ,[E:F] = 1 Û E=F dir.

 

TEOREM Her sonlu cisim genişlemesi bir cebirsel genişlemedir.

 

SONUÇ  aÎE elemanın F üzerinde  cebirsel olması için gerek ve yeter koşul F£F(a) in bir sonlu genişleme olmasıdır.

 

TEOREM  F£E ve E£K  sonlu cisim genişlemeleri ise, F£K da bir sonlu cisim genişlemesidir ve [K:F] = [K:E] [E:F]   dir.

 

SONUÇ  i = 1,2,...,t için Fi £F i+1 sonlu cisim genişlemesi ise, F1 £Ft de bir sonlu cisim genişlemesidir ve [ Ft : F1] = [Ft  : F t-1 ]  ... [F2  : F1]  dir.

 

SONUÇ  F£K bir sonlu genişleme ve  E , K nın F yi içeren bir alt cismi ise [E:F] derecesi [K:F] derecesini böler.

   

. Kolayca görüleceği gibi , (F(a))(b)=(F(b)) (a) dır. Bundan böyle ,

 

(F(a)) (b) = (F(b)) (a) = F(a,b)

 

yazacağız.

 

TEOREM.  F£E bir cebirsel genişleme olsun. E = F(a1 ,a 2  ,...,an)  olacak biçimde

 a1,a2,...,an ÎE elemanlarının var olabilmesi için gerek ve yeter koşul E nin  F üzerinde sonlu boyutlu bir vektör uzayı olması yani, F£E nin bir sonlu genişleme olmasıdır.

 

TEOREM .  F£E ve E£K cisim genişlemelerinin  cebirsel olması için gerek ve yeter koşul F£K nın cebirsel bir cisim genişlemesi olmasıdır.

 

 

 

 

 

 

4   CEBİRSEL KAPANIŞ

 

 

TEOREM  F£E bir cisim genişlemesi olsun.

 

`FE = {aÎE ; a, F üzerinde cebirsel}

 

kümesi  E nin bir alt cismidir. Bu cisme , F nin E içindeki cebirsel kapanışı denir.

 

TANIM  F bir cisim olsun. F[x]  in sabit olmayan her polinomunun  F de bir kökü varsa, F cismine bir cebirsel kapalı cisim denir.

 

TEOREM  Bir F cisminin cebirsel kapalı olması için gerek ve yeter koşul F[x]  in sabit olmayan her polinomunun  F[x]  de tamamen lineer çarpanlara ayrılabilmesidir.         

            

SONUÇ  Cebirsel kapalı bir F cisminin hiçbir has cebirsel genişlemesi yoktur.

 

TEOREM Denk cisimler göz ardı edilirse her F cisminin bir tek `F  cebirsel kapanışı vardır.

 

TEOREM ( Cebrin Esas Teoremi) . C cebirsel kapalı bir cisimdir.

 

TEOREM F£E bir cisim genişlemesi olsun. E cebirsel kapalı ise , F nin E içindeki cebirsel kapanışı`FE  de cebirsel kapalıdır.

 

 

 

 

 

TEOREM  a, F cismi üzerinde cebirsel olsun.`F , F nin cebirsel kapanışı ise,

                            

                           y : F(a)  ® `F

                                   a   ®   a        ;    " a Î F

 

içine izomorfisinde   Y(a) = b  ile  a elemanları F üzerinde eşleniktir. Tersine, F üzerinde a  elemanının her  eşleniği için tam bir tane

 

                                                       Ya,b  : F(a)  ® `F

                                                                     a   ®  b

                                                                     a    ®  a        ;    " a Î F

 

içine izomorfisi vardır.

 

SONUÇ  f(x)Î R[x]  olsun. f(a+ib) = 0 ; a,bÎ R  ( a+ib ÎC) ise f(a –ib ) = 0 dır. Yani,reel katsayılı bir polinomun bir kompleks kökü varsa, bu kökün eşleniği de aynı polinomun bir köküdür.

 

TEOREM  A = {si ; iÎI} , bir  E cisminin bütün si otomorfilerinin kümesi olsun. Bu durumda,

 

E{si } = {a ÎE  ; si , i ÎI için , si (a) = a }

 

kümesi E nin bir alt cismidir.

 

TANIM  E{si } cismine , A = {si ; iÎI} kümesinin sabit cismi denir. Tek bir s  otomorfisi için, E{s} , s  nın sabit cismidir.

 

 

Bir Cismin Otomorfileri Grubu

 

TEOREM  Bir E cisminin bütün otomorfileri kümesi ,tasvirlerin bileşke işlemine göre bir gruptur.

 

TEOREM  F £E cisim genişlemesi için , E nin bütün F – otomorfileri grubunu  G(E/F) ile gösterelim. Buna göre, G(E/F) grubu,E nin bütün otomorfileri grubunun bir alt grubudur ve  F£EG(E/F)  dir.

 

TANIM  G(E/F)  grubuna E nin F yi sabit bırakan otomorfileri grubu yada kısaca , F üzerinde E nin grubu denir.

 

 

 

 

6. PARÇALANIŞ CİSMİ

 

TANIM F bir cisim olsun. bir f(x)ÎF[x] polinomunun  bütün köklerini içeren F nin bir genişlemesine,f(x) polinomunun bir parçalanış cismi denir. Bir f(x)ÎF[x] polinomunun bütün köklerini ve F i içeren  `F

( Fin cebirsel kapanışı) nin en küçük alt cismine,F nin bir parçalanış cismi denir.

 

TEOREM  F bir cisim olmak üzere,her f(x) ÎF[x] polinomunun bir parçalanış cismi vardır.

 

TANIM  F£E ve F¢£E¢ iki cisim genişlemesi ve   j : F® F¢   bir izomorfi olsun.

 

                   y : E ®  E¢                          

                         a  ®  j(a)  ;  "a ÎF

 

izomorfisi varsa, y izmorfisine  j  izomorfisinin bir uzatılmışı denir.

 

TEOREM  j : F® F¢ bir cisim izomorfisi , p(x) = a 0 +a 1x+...+a kx kÎF[x] bir asal polinom ve p¢(x)= j  (a 0) +j (a1)x+...+j (a k)x kÎF¢[x] olsun. a , p(x) in ve a¢ , p¢(x) in bir kökü ise  ,j  izomorfisi bir  y : F(a)® F¢(a¢) izomorfisine uzatılabilir.

 

TEOREM   j : F® F¢   bir cisim izomorfisi,   p(x) ÎF[x]  ve  p(x)  in katsayıları yerine  j   izomorfisindeki resimlerini koymakla elde edilen     p¢(x) ÎF¢[x]      olsun.   Bu durumda , j   izomorfisi  p(x)  in  bir  F(a1 ,a2 , ... , an)   parçalanış cismi ile p¢(x) in   bir    F¢(b1 ,b2 , ... ,bn) parçalanış cismi arasındaki bir izomorfiye uzatılabilir ve bu    izomorfide      b1 , b2 , ... , bn   elemanları   a1 , a2  , ... , an  elemanlarının  uygun  bir sıradaki resimlerdir.

 

SONUÇ  Teorem  de F = F¢ ise ve F»F izomorfisinde ( burada otomorfi oldu) her  aÎF  sabit kalıyorsa ,   f(x) = f ¢(x)  olacak  ve  dolayısıyla  F(a1 ,a2 , ... , an)  ile F(b1,b2, ... ,bn)  aynı  f(x) polinomunun parçalanış cismi  olacaktır. Diğer bir deyişle, bir  f(x) Î F[x]   polinomunun  parçalanış  cismi  denk  cisimler  göz  ardı  edilirse  tek türlü belirlidir.

 

TANIM F£E bir sonlu genişleme ,`F ,F in cebirsel kapanışı olsun. Enin`F içine , F-izomofilerinin sayısına E nin F üzerindeki indeksi denir ve {E : F}ile gösterilir.

 

           F£E cisim genişlemesinde F nin her otomorfisi E nin `F içine bir izomorfisine uzatılabilir. Öte yandan,F£E£K sonlu genişlemeler ise, E nin `F  içine  her   F- izomorfisine  karşılık , K  nın `F  içine  tam   {K : F}   tane  F- izomorfisi olduğu kolayca görülür. Buna göre, {K : F} ={K : E}{E : F} dir. Öte yandan, F£E cisim genişlemesinde E cismi `F  içinde  F nin  parçalanış cismi ve F£E  bir sonlu genişleme ise , E nin `F içine her F – izomorfisi E nin bir F –otomorfisi ve tersine,E nin her F –otomorfisi de E nin`F içine bir izomorfisine uzatılabileceğinden,

 

{E : F} =  |G(E)/F|

 

olmak zorundadır. İleride, F cismi , karakteristiği p¹0 olan  bir cisim olması halinde özel bir durum dışında  her F£E sonlu genişlemesi için {E : F}= [E : F] olduğu görülecektir. Ancak, E = F(a) durumunda a nın her b eşleniği için I : F®F idantik tasviri ya,b temel izomorfisi ile verilen , F(a) nın `F içine bir izomorfisine uzatılabileceğinden,bunlardan  {F(a):F} tane elde edilir. irr(a,F) polinomunun  n  tane birinden farklı kökü varsa, doğal olarak, {F(a):F} = n elde edilir

 

SONUÇ  F£E bir csim genişlemesi olsun. Bir f(x)ÎF[x] polinomunun iki parçalanış cismi

 F(a1 ,a2 , ... , an)  ve  F(b1 ,b2 , ... ,bn) ise, sonuç 7.7.ye göre,

 

F(a1 ,a2 , ... , an) »  F(b1 ,b2 , ... ,bn)

 

dir. Ancak ,

 

F(a1 ,a2 , ... , an) £ E   ve   F(b1 ,b2 , ... ,bn) £ E

 

ise, F(a1 ,a2 , ... , an) = F(b1 ,b2 , ... ,bn) olmak zorundadır.

 

 

 

PROBLEMLER

 

Eleştirilerinizi Gönderiniz - İspatlarınızı Gönderiniz - Detayları isteyiniz - İspatları İsteyiniz

 

 

7. BİRİMİN KÖKLERİ VE DAİRE BÖLÜMÜ CİSİMLERİ

 

 

 

TANIM  F bir asal cisim ( p asal olmak üzere Zp  yada Q olabilir) olmak üzere,

 

xn –1ÎF[x]

 

polinomunun köklerine F üzerindeki  birimin  n-inci  kökleri ve bu polinomun F üzerindeki minimal parçalanış cismine  de F üzerindeki n-inci daire bölümü cismi denir. Bu cismi  Ln ile göstereceğiz.

 

         F bir cisim olmak üzere F-{0}= F* ile gösterelim.

 

TEOREM  F bir cisim olmak üzere, F* çarpım grubunun her G sonlu alt grubu devreseldir.

 

SONUÇ  F bir cisim ise, G = {a ÎF  ;  an = 1} kümesi  F* ın bir devresel alt grubudur. F nin karakteristiği n yi bölmüyorsa  ,bu grubun mertebesi  n dir.

 

        Birimin bütün n –inci kökleri kümesinin   bir devrsel grup olduğu ispat edilmiş olur:

 

Primitif Kök

 

 

SONUÇ F bir cisim olmak üzere ,   xn –1Î F[x]   plolinomunun   F  üzerindeki minimal parçalanış cismi (yani F üzerindeki birimin bütün  n-inci köklerini içeren cisim) Ln  olduğuna göre, xn –1 polinomunun  bütün  kökleri  kümesi  L*n   çarpım  grubunun  bir  devresel  alt  grubudur. Bu grubun her doğurayına birimin n-inci primitif kökü denir.

 

Euler fi-Fonksiyonu

 

j : Z+ ® Z+

 

   Euler fi-fonksiyonu (j (n) = n  den küçük ve n ile asal olan pozitif tam sayıların sayısı) olmak üzere,< a > grubunun doğurayları sayısının j(n) olduğunu hatırlayalım. Euler fi-fonksiyonunun bildiğimiz özellikleri aşağıdaki gibidir:

       1)     p asal ise , j(p k) = p k-1 (p –1) =  p k ( 1 – 1/p),

     2)     (r , s) = 1  ise ,  j (r , s) =  j (r)j(s),

     3)      n  in asal çarpanlara ayrılışı  n =p1a1 p1a2... p1ar  ise, j(n) = n Õ(1 - 1/pi)   (1 = 1,2,...,r),

   4)     n = å j (d)   ; d |n  dir.

            

 

TANIM  Birimin n-inci primitif kökleri  x1,x 2, ,..., x j(n)  ise ,

 

Fn(x) = (x – x1) (x –x2 ) ... (x –xj(n)) ÎLn [x]

 

polinomuna n-inci daire bölümü polinomu denir

SONUÇ     xn – 1 =ÕFd(x)  ; d |n    dir.

 

Möbius Fonksiyonu

 

                                                  ì   1      ,  n = 1 ise

Möbius  fonksiyonu : m(n)  =        í   0      ,  n bir asal sayının karesi ile bölünüyorsa

                                                 î  (-1)r  ,  n = p1 p2...p r  ;  i¹ j için pi ¹pj ; pi ler asal

 

 

 

TEOREM  Daire bölümü polinomunun katsayıları  asal  cisimdedir. Yani, asal cisim  Q  ise  katsayılar tamsayıdır ; asal cisim   Zp   ise   katsayılar   mod p    kalan sınıflarıdır.

 

TEOREM . F asal cisminin karakteristiği sıfır ise ( yani F = Q ise),F üzerindeki  n-inci  daire bölümü polinomu Z[x] de dolayısıyla  Q[x] de  asaldır

 

TEOREM  F bir asal isim olmak üzere, F üzerindeki birimin n-inci daire bölümü cismi Ln , F asal cisminin bir basit genişlemesidir  ve aşağıdaki özellikleri gerçekler :

 

 a)      F nin karakteristiği sıfır ise, Ln daire bölümü cisminin F asal cismi üzerindeki tanım polinomu Fn(x) daire bölümü polinomudur . Buna göre, [Ln : F] = j(n)  dir.

  b)      F nin karakteristiği p (p asal) ise, Ln daire bölümü cisminin F asal cismi üzerindeki tanım polinomu Fn(x) daire bölümü polinomunun bir  bölenidir. Buna göre, [Ln:F] böler  j(n)   dir.

 

     

 

 

 

8 SONLU CİSİMLER

 

TEOREM E karakteristiği  p olan bir sonlu cisim ise ,Zp £E bir cebirsel genişlemedir.

 

TEOREM  F ve E sonlu cisimler ise  ,F£ E cisim genişlemesi basittir.

 

TEOREM  E karakteristiği  p olan bir sonlu cisim ise, E cismi  Zp üzerinde sonlu boyutlu bir vektör uzayıdır. Buna göre, [E : Zp] = n³1  ise , E nin eleman sayısı pn  dir.

 

SONUÇ  E karakteristiği  p olan bir sonlu cisim  ve |E| =pn ise, E*  çarpım grubu, eleman sayısı   pn –1    olan bir devresel gruptur. 

 

TEOREM  pn elemanlı E sonlu cisim, izomorf olanlar göz ardı edildiğinde tek türlü belirlidir ve bu cisim    xpn - x ÎZp[x]   polinomunun minimal parçalanış cismidir.

 

 

Galois Alanı

 

TANIM  Her p asal sayısı ve her n³1 tam sayısı için tek türlü belirli olarak var olan,pn elemanlı sonlu cisme  pn elemanlı galois  alanı denir ve GF(pn) ile gösterilir.

 

TEOREM E karakteristiği  p olan bir sonlu cisim ise,

 

sp : E ® E

      a ® ap

 

bir otomorfidir  ve  E{sp} » Zp  dir. . sp  otomorfisine E nin Frobenius  otomorfisi denir.

 

 

 

 

 

 

 

9. AYRILABİLEN VE NORMAL GENİŞLEMELER

 

 

 

Ayrılabilen Genişleme

 

TANIM F bir cisim olmak üzere ,bir f(x)ÎF[x] asal polinomunun bütün kökleri basit ise f(x)  polinomuna  F üzerinde bir ayrılabilen polimon ,aksi halde F üzerinde bir ayrılamayan polinom denir. F üzerinde cebirsel olan bir elemanın minimal polinomu F üzerinde ayrılabilen ise , bu elemana  F  üzerinde  bir  ayrılabilen eleman ,aksi halde F üzerinde bir ayrılamayan eleman denir. F£E  bir cebirsel  genişleme ve E nin her elemanı F üzerinde ayrılabilen  ise , E  ye  F  nin  bir  ayrılabilen genişlemesi , aksi   halde  bir   ayrılamayan genişlemesi denir.

 

TEOREM F   bir   cisim  olmak  üzere , bir   f(x)ÎF[x]  asal polinomu  ancak     f ¢(x) = 0  ise ,bir ayrılamayan polinomdur.

 

SONUÇ   a)F cisminin karakteristiği sıfır ise  her f(x)ÎF[x] asal polinomu F üzerinde ayrılabilendir.

                

               b) F cisminin karakteristiği  p¹0  ise,bir  f(x)ÎF[x] polinomu  ancak

 

f(x) = å a i (x p) i = h (x p)      (i = 0,1,2,...,n)

 

biçiminde ise, F üzerinde ayrılamayandır.

 

Mükemmel Cisim

 

 

TANIM  F cisminin her cebirsel genişlemesi ayrılabilen ise, F cismine bir mükemmel cisim denir.

 

TEOREM      a) Karakteristiği sıfır olan cisimler mükemmeldir.

 

                       b) Karakteristiği p¹0 olan bir F cisminin  mükemmel olabilmesi için gerek ve yeter koşul her   a ÎF  elemanının p-inci kökünün F içinde kalmasıdır. Yani , her   a ÎF   için a= bp  olacak biçimde bir  bÎF  elemanı olmasıdır.

 

SONUÇ 10.16. Her sonlu cisim mükemmeldir.

 

Primitif Eleman Teoremi

 

 

TEOREM  (Primitif Eleman Teoremi). F bir cisim ,   a1 , a2  , ... ,at       elemanları  F üzerinde cebirsel    ve     a2  , ... ,at     elemanları F üzerinde ayrılabilen olsun.    Bu durumda , E=F(a1,a2,... ,at) genişlemesi bir basit genişlemedir. Yani, E=F(q)   olacak biçimde bir  q ÎE elemanı vardır. Böyle bir q  elemanına bir primitif eleman denir.

 

TEOREM   Bir f(x)ÎF[x]  asal polinomunun `F içindeki bütün köklerinin çok katlılıkları aynıdır.

 

SONUÇ  F£E bir sonlu ayrılabilen genişleme olsun.

 

a) E cismi F nin bir basit genişlemesidir

 

b) {E : F}= [E : F]  = |G(E)/F| dir.   

 

SONUÇ     a)Karakteristiği sıfır olan bir cismin her sonlu genişlemesi bir basit genişlemedir.

                   b)Karakteristiği p¹0 olan bir F cisminin bir sonlu genişlemesinin bir basit genişleme olması için gerek ve yeter koşul , her   a ÎF  elemanının p-inci kökünün F içinde kalmasıdır. Yani , her   a ÎF   için a= bp  olacak biçimde bir  bÎF  elemanı olmasıdır. 

 

SONUÇ 10.23. E = GF(pn) galois alanını için, G(E/Zp)  grubu ,bir doğurayı  E nin frobenius otomorfisi sp  olan bir devresel gruptur.

 

 

Normal Genişleme

 

 

TANIM F£E bir cisim genişlemesi olsun  E de bir kökü bulunan her  f(x)Î F[x] asal polinomu E üzerinde tamamen lineer asal çarpanlara ayrılabiliyorsa E ye F nin bir normal genişlemesi denir.

    

TEOREM F£ E£K genişlemeleri için , F£K  bir normal genişleme ise,E£K da bir normal genişlemedir.

 

       Normal genişlemelerin de incelenmesi sonucunda galois teorisi için hemen hemen bütün hazırlıklar tamamlanmış olur. Galois teorisinde özel olarak sonlu normal genişlemeleri dikkate almak yeterli olacaktır. Galois teorisinin ana teoremi aşağıdaki önemli özelliği ortaya koyar:

 

          “F£K bir sonlu normal genişleme ise, F£E£K koşuluna uyan E cisimleri ile G(K/F) grubunun  alt grupları  bire bir olarak karşı gelirler.”

 

Galois Grubu

 

 

TANIM  F£E sonlu bir normal genişleme ise, G(E/F) grubuna  E  nin F üzerindeki galois grubu denir.

 

        f(x)ÎF[x] polinomunun her asal çarpanı F üzerinde ayrılabilen bir polinom olsun. f(x) polinomunun F üzerindeki minimal parçalanış cismi E ise, doğal olarak ,E cismi  F cisminin bir normal genişlemesidir. Bu durumda , G(E/F) galois grubuna, f(x) polinomunun F üzerindeki galois grubu denir.